1、127 正多边形与圆知识点 1 正多边形的定义和作正多边形1下列命题中，是真命题的有( )各边相等的多边形是正多边形；各内角分别相等的多边形是正多边形；各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形A0 个 B1 个 C2 个 D3 个2如图 271 所示，六边形 ABCDEF是O 的内接正六边形，且 OA4，则这个正六边形的边长是( )图 271A24 B6 C4 D2 33在图 272 中，试分别按要求画出圆的内接正多边形图 272知识点 2 正多边形的性质4正六边形的对称轴有( )A3 条 B6 条 C9 条 D12 条5对于一个正多边形，以下说法错误的是( )A正多边形是轴对称图形，每条边的
2、垂直平分线是它的对称轴B正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补6如果一个正多边形绕它的中心旋转 36和原来的图形重合，那么这个正多边形可能是( )2A正三角形 B正方形 C正六边形 D正十边形7正七边形有_条对称轴知识点 3 正多边形的有关计算8如图 273，正方形 ABCD内接于O，它的边长为 4，则O 的半径是( )图 273A2 B4 C2 D42 2392017株洲下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形10正多边形的中心角
3、与该正多边形一个内角的关系是( )A互余 B互补 C互余或互补 D不能确定112017玉林如图 274，在边长为 2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交得到一个四边形 ABCD，则四边形 ABCD的周长是_图 27412如图 275，六边形 ABCDEF是半径为 8的O 的内接正六边形，求它的周长和面积(结果保留根号)图 275132017滨州若正方形的外接圆的半径为 2，则其内切圆的半径为( )A. B2 C. D12 22214如图 276，半径为 1的O 与正六边形 ABCDEF相切于点 A，D，则 的长为( )AD 图 276A. B. C. D. 16 13 23 564
4、15如图 277，正方形 ABCD内接于O，其边长为 4，则O 的内接正三角形 EFG的边长为_图 27716如图 278，若干全等正五边形排成环状图中所示的是前 3个正五边形，要完成这一圆环还需_个正五边形图 278172017岳阳我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，他认为圆内接正多边形的边数越多时，其周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率 的近似值设半径为 r的圆内接正 n边形的周长为 L，圆的直径为 d，如图 279 所示，当 n6 时， 3，Ld 6r2r那么当 n12 时， _(结果精确到 0.01，参考数据： sin15 cos75Ld0.259)图 27918如图 2710，
5、在正五边形 ABCDE中，对角线 AC，BD 相交于点 F.(1)判断ABF 的形状，并说明理由；(2)求证：四边形 AFDE为菱形图 2710519(1)已知：如图， ABC是 O的内接正三角形， P为 上一动点，求证：BC PA PB PC；(2)如图，四边形 ABCD是 O的内接正方形， P为 上一动点，求证：BC PA PC PB；2(3)如图，六边形 ABCDEF是 O的内接正六边形， P为 上一动点，请探究BC PA， PB， PC三者之间有何数量关系，并给予证明图 27116教师详解详析1B 2.C 3.略4B 解析 如图所示，正六边形的对称轴有 6条5B6D 解析 A项，正三角
6、形绕它的中心旋转能和原来的图形重合的最小的度数是120.B项，正方形绕它的中心旋转能和原来的图形重合的最小的度数是 90.C项，正六边形绕它的中心旋转能和原来的图形重合的最小的度数是 60.D项，正十边形绕它的中心旋转能和原来的图形重合的最小的度数是 36.故选 D.778A 解析 过点 O作 OE AD于点 E，连接 OD，则 AE DE2， OE2.在 Rt ODE中，OD 2 .ED2 OE2 29A 解析 正三角形一条边所对的圆心角是 3603120，正方形一条边所对的圆心角是 360490，正五边形一条边所对的圆心角是 360572，正六边形一条边所对的圆心角是 360660，一条边
7、所对的圆心角最大的图形是正三角形故选 A.10B 解析 设正多边形的边数为 n，则正多边形的中心角为 ，正多边形的一360n个外角等于 ，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外360n角与该正多边形相邻的内角互补，所以正多边形的中心角与该正多边形的一个内角互补故选 B.1188 解析 由题意，可得 AD2 22 2 ，四边形 ABCD的周长2222 2是 4(22 )88 .2 212解：连接 OB， OC.六边形 ABCDEF是正六边形， BOC60， OBC是等边三角形， BC OB8，正六边形 ABCDEF的周长6848.过点 O作 OG BC于点 G. OBC是
8、等边三角形， OB8， OBC60，7 OG OBsin OBC8 4 ，32 3 S OBC BCOG 84 16 ，12 12 3 3 S 六边形 ABCDEF6 S OBC616 96 .3 313A 解析 如图，由“正方形的外接圆半径为 2”可得 OB2， OBC45，由切线的性质可得 OCB90，所以 OBC为等腰直角三角形，所以 OC OB .22 214C 解析 连接 OA， OD， O与正六边形 ABCDEF相切于点 A， D， OAF ODE90. E F120， AOD5409090120120120， 的长为 .AD 120 1180 23故选 C.152 解析 连接 A
9、C， OE， OF，过点 O作 OM EF于点 M.6四边形 ABCD是正方形， AB BC4， ABC90， AC是 O的直径， AC4 ，2 OE OF2 .2 OM EF， EM MF. EFG是等边三角形， GEF60.在 Rt OME中， OE2 ， OEM GEF30，212 OM ， EM ， EF2 .2 6 6故答案为 2 .6167 解析 多边形是正五边形，内角是 (52)180108，15 O180(180108)(180108)36，36的圆心角所对的弧长为圆周长的 ，即 10个正五边形能围成这一圆环，所以要完成这一圆环还需 7个正五边形1108173.11 解析 如图
10、，圆的内接正十二边形被半径分成 12个如图所示的等腰三角形，其顶角为 30，即 AOB30，过点 O作 OH AB于点 H，则 AOH15. AO BO r，Rt AOH中，sin AOH ，即 sin15 ， AH rsin15，AHAO AHrAB2 AH2 rsin15， L122 rsin1524 rsin15.又 d2 r， Ld3.11.24rsin152r18解：(1) ABF是等腰三角形理由：在正五边形 ABCDE中，对角线 BD， AC相交于点 F， ABC BCD108， AB BC， BC CD， BAC ACB36， CDB CBD36， ABD ABC CBD1083
11、672， AFB180367272， ABD AFB， ABF为等腰三角形(2)证明：五边形 ABCDE是正五边形， AB BC CD DE AE. ABD BAE72108180， BD AE，同理， AC DE，四边形 AFDE是平行四边形 AE DE，四边形 AFDE是菱形19解：(1)证明：延长 BP至 E，使 PE PC，连接 CE，如图. ABC是等边三角形， BAC60. A， B， P， C四点共圆， BAC BPC180. BPC EPC180， BAC EPC60.又 PE PC， PCE是等边三角形， CE PC， E60.又 BCE60 BCP， ACP60 BCP，
12、BCE ACP. ABC， ECP为等边三角形，9 CE PC， AC BC， BEC APC(SAS)， PA BE PB PC.(2)证明：过点 B作 BE BP交 PA于点 E，如图.122390，13.易知 APB45， PB BE， PE PB.2又 AB BC， ABE CBP， AE PC. PA AE PE PC PB.2(3)PA PC PB.3证明：过点 B作 BM AP，在 AP上截取 AQ PC，连接 BQ，如图. BAP BCP， AB BC， ABQ CBP， BQ BP， PM QM.又易知 APB30，cos APB ，PMPB PM PB， PQ PB，32 3 PA PQ AQ PB PC.3
