1、1专题 26 排列组合、二项式定理 考纲解读明方向考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度计数原理、排列、组合(1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理;会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题(2)排列与组合理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式;能解决简单的实际问题掌握2017 天津,14;2016 课标全国,5;2016 课标全国,12;2015 四川,6;2014 安徽,8选择题 分析解读 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个事件来完成,两个原理的区别在
2、于一个与分类有关,一个与分步有关,这两个原理是最基本也是最重要的原理,是解答排列与组合问题,尤其是解答较复杂的排列与组合问题的基础.2.理解排列、组合及排列数与组合数公式,排列与组合的综合是高频考点.本节在高考中单独考查时,以选择题、填空题的形式出现,分值约为 5 分,属中档题;本节内容还经常与概率、分布列问题相结合,出现在解答题的第一问中,难度中等或中等偏上.考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度二项式定理的应用能用计数原理证明二项式定理;会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题掌握2017 课标全国,6;2016 课标全国,14;2015 课标,10选择题填空题 2分析解读
3、 1.掌握二项式定理和二项展开式的性质.2.会用二项式定理的知识解决系数和、常数项、整除、近似值、最大值等相关问题.3.二项展开式的通项公式是高考热点.本节在高考中一般以选择题或填空题形式出现,分值约为 5 分,属容易题.2018 年高考全景展示1 【2018 年全国卷理】 的展开式中 的系数为A. 10 B. 20 C. 40 D. 80【答案】C点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。2 【2018 年浙江卷】从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260【解析】分析:按是否取零分类
4、讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.详解：若不取零，则排列数为 若取零，则排列数为因此一共有 个没有重复数字的四位数.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法” ；(2)元素相间的排列问题“插空法” ；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法” ；(4)带有“含”与“不含” “至多” “至少”的排列组合问题间接法.3 【2018 年浙江卷】二项式 的展开式的常数项是_【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第 r+1 项，再根据项的次数为零解得 r，代入即得结果.详解：二项式 的展开式的通项公式为 ,令 得 ，故所求的常数项为
5、3点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第 项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.4 【2018 年理数天津卷】在 的展开式中， 的系数为_.【答案】点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n， r 均为非负整数，且 n r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数
6、，再求所求解的项(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解5 【2018 年理新课标 I 卷】从 2 位女生，4 位男生中 选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种 （用数字填写答案）【答案 】16【解析】分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从 6 人中任选 3 人总共有多少种选法，之后应用减法运算，求得结果.详解：根据题意，没有女生入选有 种选法，从 6 名学生中任意选 3 人有 种选法，故至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 种，故答案是 16.点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多至少问题
7、时多采用间接法，总体方法是得出选3 人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有 1 名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.2017 年高考全景展示1.【2017 课标 1，理 6】 621()x展开式中 2x的系数为4A15 B20 C30 D35【答案】C【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好 2x的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式展开式中的 r不同.2.【2017 课标 3，理 4】 52xy的展开式
8、中 x3 y3的系数为A 80 B 40 C40 D80【答案】 C【解析】试题分析： 55522xyxyxy， 由 52 展开式的通项公式： 15rrrrTC 可得：当 3r 时， 5xy 展开式中 3xy 的系数为 3325140 ，当 时， 展开式中 的系数为 28 ，则 3xy 的系数为 804 .故选 C.【考点】 二项式展开式的通项公式【名师点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n， r 均为非负整数，且 n r，如常数项指数为零、有理
9、项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.3.【2017 课标 II，理 6】安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ）5A12 种 B18 种 C24 种 D36 种【答案】D【考点】 排列与组合；分步乘法计数原理【名师点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步。具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)。4.【201
10、7 浙江，16】从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_中不同的选法（用数字作答）【答案】660【解析】试题分析：由题意可得：总的选择方法为 4183C种方法，其中不满足题意的选法有 4163C种方法，则满足题意的选法有： 41836460种【考点】排列组合的应用【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件解题过程中要首先分清“是分类还是分步
11、” 、 “是排列还是组合” ，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式5.【2017 浙江，13】已知多项式 1x3 22= 543211245xaxax，则4a=_， 5a=_【答案】16，4【解析】试题分析：由二项式展开式可得通项公式为： 32rmCx，分别取 0,1r和 ,0rm可得64126a，令 0x可得 32514a【考点】二项式定理【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（
12、1）考查二项展开式的通项公式 1rnrTCab；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用6.【2017 天津，理 14】用数字 1，2，3， 4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个.（用数字作答）【答案】 108 【解析】 4345108AC 【考点】计数原理、排列、组合【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法） ，组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.2016 年高考全景展示1. 【2
13、016 高考新课标 2 理数】如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（A）24 （B）18 （C）12 （D）9【答案】B考点： 计数原理、组合.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是7独立的分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的2. 【2016 年高考四川理数】设 i 为虚数单位，则 6()xi的展开式中含 x4的项为（A）15 x4 （B）15 x4 （C）20
14、i x4 （D）20 i x4【答案】A【解析】试题分析：二项式 6()xi展开的通项 61rrTxi，令 4r，得 2，则展开式中含 4x的项为244615Cxi，故选 A.考点：二项展开式，复数的运算.【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可二项式 6()xi的展开式可以改为6()ix，则其通项为 6rCix，即含 4的项为 46415Cix3. 【2016 年高考四川理数】用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A）24 （B）48 （C）60 （
15、D）72【答案】D【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为 1、3、5 中之一，其他位置共有随便排共 4A种可能，所以其中奇数的个数为 4372A，故选 D.考点：排列、组合【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置.4. 【2016 高考新课标 3 理数】定义“规范 01 数列” na如下： n共有 2m项，其中 项为 0， m项为 1，且对任意 2km， 12,ka 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 4，则不同的“规范
16、01 数列”共有（ ）（A）18 个 （B）16 个 （C）14 个 （D）12 个【答案】C【解析】8试题分析：由题意，得必有 10a， 8，则具体的排法列表如下：0 1 1 10 1 10 10111 00 1 10 1011 00 1011 01 00 1 10 1011 00 101 01 01 01考点：计数原理的应用【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果5. 【2016 年高考北京理数】在 6(12)x的展开式中， 2x的系数为_.（用数字作答）【
17、答案】60.【解析】试题分析：根据二项展开的通项公式 16(2)rrrTCx可知， 2的系数为 26()0C，故填： 6.考点：二项式定理.【名师点睛】1.所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第 n项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项.求解时，先准确写出通项 rnrbaT1，再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可；2、求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合 n的范围分析.6.【2016 高考新课标 1 卷】 5(2)x的展开式中, x3的系数是 .（用数字填写答案）【答案】 0【解析】9试题分析： 5
18、(2)x的展开式通项为 552C(2)Crrrrxx( 0,1,2,5),令 532r得4r,所以 3的系数是 4510.考点:二项式定理7.【2016 高考天津理数】 28()x的展开式中 x2的系数为 _.(用数字作答)【答案】 56考点：二项式定理【名师点睛】1.求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n， r 均为非负整数，且 n r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项2有理项是字母指数为整数的项解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解8.【2016 高考山东理数】若（a x2+ 1） 5的展开式中 x5的系数是80，则实数 a=_.【答案】-2【解析】试题分析：因为5102521 51()rrrrrTCaxCax，所以由 51022r，因此2580.Ca考点：二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项公式，往往是考试的重点.本题难度不大，易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等.
