1、1专题 25 立体几何中综合问题 考纲解读明方向考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度空间向量及其应用理解直线的方向向量与平面的法向量;能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系;能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理);能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用掌握2017 浙江,9;2017 课标全国,19;2017 天津,17;2017 江苏,22;2017 北京,16;2017 浙江,19;2017 山东,17;2016 课标全国,19;2016 山东,17;2
2、016 浙江,17;2015 课标,19;2014 陕西,17;2013 课标全国,18解答题 分析解读 1.能运用共线向量、共面向量、空间向量基本定理及有关结论证明点共线、点共面、线共面及线线、线面的平行与垂直问题;会求线线角、线面角;会求点点距、点面距等距离问题,从而培养用向量法思考问题和解决问题的能力.2.会利用空间向量的坐标运算、两点间距离公式、夹角公式以及相关结论解决有关平行、垂直、长度、角、距离等问题,从而培养准确无误的运算能力.3.本节内容在高考中延续解答题的形式,以多面体为载体,求空间角的命题趋势较强,分值约为 12 分,属中档题.2018 年高考全景展示1 【2018 年理数
3、天津卷】如图， 且 AD=2BC， , 且 EG=AD， 且 CD=2FG， DA=DC=DG=2.（I）若 M 为 CF 的中点， N 为 EG 的中点，求证： ；（II）求二面角 的正弦值；（III）若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60，求线段 DP 的长.【答案】()证明见解析；() ；() .2详解：依题意，可以建立以 D 为原点，分别以 ， ， 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图） ，可得 D（0，0，0） ， A（2，0，0） ， B（1，2，0） ， C（0，2，0） ，E（2，0，2） ， F（0，1，2）
4、 ， G（0，0，2） ， M（0， ，1） ， N（1，0，2） （）依题意 =（0，2，0） ， =（2，0，2） 设 n0=(x， y， z)为平面 CDE 的法向量，则 即 不妨令 z=1，可得 n0=（1，0，1） 又 =（1， ，1） ，可得 ，又因为直线 MN 平面 CDE，所以 MN平面 CDE（）依题意，可得 =（1，0，0） ， ， =（0，1，2） 设 n=（ x， y， z）为平面BCE 的法向量，则 即 不妨令 z=1，可得 n=（0，1，1） 设 m=（ x， y， z）为平面 BCF 的法向量，则 即 不妨令 z=1，可得 m=（0，2，1） 因此有cos= ，于
5、是 sin= 所以，二面角 EBCF 的正弦值为 （）设线段 DP 的长为 h（ h0，2 ） ，则点 P 的坐标为（0，0， h） ，可得 易知， =（0，2，0）为平面 ADGE 的一个法向量，故 ，由题意，可3得 =sin60= ，解得 h= 0，2 所以线段 的长为 .点睛：本题主要考查空间向量的应用，线面平行的证明，二面角问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2 【2018 年理北京卷】如图，在三棱柱 ABC- 中， 平面 ABC， D， E， F， G 分别为 ， AC， 的中点， AB=BC= ， AC= =2（）求证： AC平面 BEF；（）求二面角 B-CD-C1
6、的余弦值；（）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交【答案】(1)证明见解析(2) B-CD-C1的余弦值为 (3)证明过程见解析【解析】分析：（1）由等腰三角形性质得 ，由线面垂直性质得 ,由三棱柱性质可得，因此 ，最后根据线面垂直判定定理得结论， （2）根据条件建立空间直角坐标系 E-ABF，设立各点坐标，利用方程组解得平面 BCD 一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果， （3）根据平面 BCD 一个法向量与直线 FG 方向向量数量积不为零，可得结论.详解：解：（）在三棱柱 ABC-A1B1C1中， CC1平面 ABC，四边形 A1ACC
7、1为矩形又 E， F 分别为AC， A1C1的中点， AC EF AB=BC AC BE， AC平面 BEF（）由（I）知 AC EF， AC BE， EF CC1又 CC1平面 ABC， EF平面 ABC BE 平面 ABC， EF BE如图建立空间直角坐称系 E-xyz由题意得 B（0，2，0） ， C（-1，0，0） ，D（1，0，1） ， F（0，0，2） ， G（0，2，1） ，设平面 BCD 的法向量为 ， ， ，令 a=2，则 b=-1， c=-4，平面 BCD 的法向量4，又平面 CDC1的法向量为 ， 由图可得二面角 B-CD-C1为钝角，所以二面角 B-CD-C1的余弦值为
8、 （）平面 BCD 的法向量为 ， G（0，2，1） ， F（0，0，2） ， ， ， 与 不垂直， GF 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内， GF与平面 BCD 相交点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.3 【2018 年江苏卷】如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中， AB=AA1=2，点 P， Q 分别为 A1B1， BC 的中点（1）求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值；（2）求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦
9、值【答案】 （1） （2）【解析】分析：（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求得向量 的夹角，再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；（2）利用平面的方向量的求法列方程组解得平面的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果.5详解：如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，设 AC， A1C1的中点分别为 O， O1，则OB OC， OO1 OC， OO1 OB，以 为基底，建立空间直角坐标系 Oxyz因为 AB=AA1=2，所以 （1）因为 P 为 A1B1的中点，所以 ，从而 ，故 因此，异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦
10、值为 点睛：本题考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.4 【2018 年江苏卷】在平行六面体 中， 6求证：（1） ；（2） 【答案】答案见解析【解析】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形 ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直
11、判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中， AB A1B1因为 AB 平面 A1B1C， A1B1 平面 A1B1C，所以 AB平面 A1B1C（2）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，四边形 ABB1A1为平行四边形又因为 AA1=AB，所以四边形 ABB1A1为菱形，因此 AB1 A1B又因为 AB1 B1C1， BC B1C1，所以 AB1 BC又因为 A1B BC=B， A1B 平面 A1BC， BC 平面 A1BC，所以 AB1平面 A1BC因为 AB1 平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1平面 A1BC点睛：本题可能会出现对常见几何
12、体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形” ，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.5 【2018 年理新课标 I 卷】如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把折起，使点 到达点 的位置，且 .（1）证明：平面 平面 ；7（2）求 与平面 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析.(2) .【解析】分析：(1)首先从题的条件中确定相应的垂直关系，即 BF PF， BF EF，又因为 ，利用线面垂直的判定定理可以得出 BF平
13、面 PEF，又 平面 ABFD，利用面面垂直的判定定理证得平面PEF平面 ABFD.(2)结合题意，建立相应的空间直角坐标系，正确写出相应的点的坐标，求得平面 ABFD 的法向量，设 DP与平面 ABFD 所成角为 ，利用线面角的定义，可以求得 ，得到结果.详解：（1）由已知可得， BF PF， BF EF，又 ，所以 BF平面 PEF.又 平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD.点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂
14、直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法8向量来完成，注意相对应的等量关系即可.6 【2018 年全国卷理】如图，边长为 2 的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点（1）证明：平面 平面 ；（2）当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值【答案】 （1）见解析（2）【解析】分析：（1）先证 平面 CMD,得 ,再证 ，进而完成证明。（2）先建立空间直角坐标系，然后判断出 的位置，求出平面 和平面 的法向量，进而求得平面与平面 所成二面角的正弦值。详解：（1）由题设知,平面 CMD平面 ABCD,交线为 CD.因为 BC CD,
15、BC 平面 ABCD,所以 BC平面 CMD,故BC DM.因为 M 为 上异于 C， D 的点,且 DC 为直径，所以 DM CM.又 BC CM=C,所以 DM平面 BMC.而 DM平面 AMD,故平面 AMD平面 BMC.（2）以 D 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.当三棱锥 MABC 体积最大时， M 为 的中点.由题设得 ，设 是平面 MAB 的法向量,则即 可取 . 是平面 MCD 的法向量,因此， ，所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 .点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问
16、主要考查建9立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题进行求解，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题。7 【2018 年理数全国卷 II】如图，在三棱锥 中， ， ， 为的中点（1）证明： 平面 ；（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值【答案】 （1）见解析（2）【解析】分析：(1)根据等腰三角形性质得 PO 垂直 AC，再通过计算，根据勾股定理得 PO 垂直 OB，最后根据线面垂直判定定理得结论，(2)根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面 PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角
17、，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得 M 坐标，再利用向量数量积求得向量 PC 与平面 PAM 法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果.详解：（1）因为 ， 为 的中点，所以 ，且 .连结 .因为 ，所以 为等腰直角三角形，且 ， .由 知 .由 知 平面 .（2）如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 .由已知得取平面 的法向量 .设，则 .设平面 的法向量为 .由 得 ，可取 ，所以.由已知得 .所以 .解得10（舍去） ， .所以 .又 ，所以 .所以 与平面所成角的正弦值为 .点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系
18、关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.2017 年高考全景展示1.【2017 课标 1，理 16】如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为O.D、 E、 F 为圆 O 上的点， DBC， ECA， FAB 分别是以 BC， CA， AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 BC， CA， AB 为折痕折起 DBC， ECA， FAB，使得 D、 E、 F 重合，得到三棱锥.当 ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大
19、值为_.【答案】 415【解析】试题分析：如下图，设正三角形的边长为 x，则 132OGx6.356FGSx， 222356Ohx35 三棱锥的体积 21343ABCVShx 45132x.11令 453nxx，则 34520nx，令 0，4， ，max7581512V.【考点】简单几何体的体积【名师点睛】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是 2 次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.2.【2017 课标 3，理 19】如图，四面体 ABCD 中， ABC 是
20、正三角形， ACD 是直角三角形， ABD= CBD， AB=BD（1）证明：平面 ACD平面 ABC； （2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC 的余弦值.【答案】(1)证明略；(2) 7.【解析】12试题分析：(1)利用题意证得二面角的平面角为 90，则可得到面面垂直；(2) 利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用公式二面角的夹角公式可求得二面角的余弦值为7.（2）由题设及（1）知， ,OABC两两垂直，以 O为坐标原点， A的方向为 x轴正方向， OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 xyz.则 1,0
21、,30,1,0,1ABCD 由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的 2，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的 12，即 E 为 DB 的中点，得 310,2E .故,0,ADCA.设 =x,yzn是平面 DAE 的法向量，则 DEA0，n即0,312xzy。13可取 31,n .设 m是平面 AEC 的法向量，则 0，ACEm同理可得 0,13 .则 7cos,n .所以二面角 D-AE-C 的余弦值为 7 .【考点】 二面角的平面角；面面角的向量求法【名师点睛】(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用
22、方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算.(2)设 m， n 分别为平面 ， 的法向量，则二面角 与互补或相等，故有|cos |cos|= .求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.3.【2017 山东，理 17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD（及其内部）以 AB边所在直线为旋转轴旋转 120得到的， G是 ADF的中点.（）设 P是 ACE上的一点，且 PBE，求 CP的大小；（）当 3B， ，求二面角 的大小 .14【答案】 （） 30CBP.（） 6.【解析】试题分析：（）利用 ABE， ，证得 E平面 ，利用 BP平面 ，得到 P，结合 120C可得
23、BP.（）两种思路，一是几何法，二是空间向量方法，其中思路一：取 AEC的中点 H，连接 E， G， H.得四边形 B为菱形，得到 231C.取 AG中点 M，连接 E， ， .得到 E， AG，从而 为所求二面角的平面角.据相关数据即得所求的角.思路二：以 B为坐标原点，分别以 BE， P， A所在的直线为 x， y， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.写出相关点的坐标，求平面 G的一个法向量 1(,)m， 平面 ACG的一个法向量 2(,)nxyz计算 1cos,|2mn即得.试题解析：（）因为 APBE， ，AB， 平面 ， ，所以 E平面 ，又 P平面 ，所以 ，又 120BC，因此
24、 30（）解法一：15取 AEC的中点 H，连接 E， G， CH.因为 120B，所以四边形 为菱形，所以 231A.取 G中点 M，连接 E， C， .则 E， AG，所以 C为所求二面角的平面角.又 1A，所以 132.在 B中，由于 0EB，由余弦定理得 22cos01，所以 3C，因此 MC为等边三角形，故所求的角为 60.解法二：16以 B为坐标原点，分别以 BE， P， A所在的直线为 x， y， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得 (0,3)A(2,0)， (1,3)G， (1,30)C，故 (2,03)AE， (1,30)AG，2CG，设 1(,)mxyz是平面 E
25、的一个法向量.由 0AE可得 1230,xzy取 12z，可得平面 G的一个法向量 (3,2)m.设 2(,)nxyz是平面 AC的一个法向量.由 0AC可得 230,xyz取 2z，可得平面 G的一个法向量 (3,2)n.所以 1cos,|2mn.因此所求的角为 60.【考点】1.垂直关系.2. 空间角的计算.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.立体几何中角的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力
26、转化与化归思想及基本运算能力等.172016 年高考全景展示1 【2016 高考天津理数】如图，正方形 ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF 为矩形，平面 OBEF平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点， AB=BE=2.（I）求证： EG平面 ADF；（II）求二面角 O-EF-C 的正弦值；（III）设 H 为线段 AF 上的点，且 AH= 23HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值.【答案】 （）详见解析（） 3（） 721【解析】试题分析：（）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法
27、向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值试题解析：依题意， OFABCD平 面 ，如图，以 O为点，分别以 ,ADBOF的方向为 x轴， y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得 (0,)，1,0(,1)(,0)(1,)12(,)(1,0)ABEFG，.18（I）证明：依题意， (2,0)1,2ADF.设 1,nxyz为平面 ADF的法向量，则10nAF，即 xyz .不妨设 z，可得 10,2，又 0,12EG，可得1
28、EG，又因为直线 EGAF平 面 ，所以 /EGAF平 面 .（II）解：易证， 1,0OA为平面 O的一个法向量 .依题意， 1,01,2CF.设2,nxyz为平面 C的法向量，则 20nCF，即 02xyz .不妨设 x，可得21,.因此有 226cos, 3OAn，于是 23sin,OA，所以，二面角 OEFC的正弦值为 3.（III）解：由 23AHF，得 25AF.因为 1,2A，所以 224,55AHF，进而有 4,5，从而 84,B，因此 227cos, 1Bn.所以，直线BH和平面 CEF所成角的正弦值为 721.考点：利用空间向量解决立体几何问题2.【2016 年高考北京理数
29、】 （本小题 14 分）19如图，在四棱锥 PABCD中，平面 PA平面 BCD， PA， PD， AB，1AB， 2， 5.（1）求证： PD平面 AB；（2）求直线 与平面 C所成角的正弦值；（3）在棱 上是否存在点 M，使得 /平面 PCD？若存在，求 AMP的值；若不存在，说明理由.【答案】 （1）见解析；（2） 3；（3）存在， 14A【解析】试题分析：（1）由面面垂直性质定理知 AB平面 PD；根据线面垂直性质定理可知 PDAB，再由线面垂直判定定理可知 PD平面 AB；（2）取 的中点 O，连结 P， C，以 O为坐标原点建立空间直角坐标系 Oxyz，利用向量法可求出直线 与平面
30、 所成角的正弦值；（3）假设存在，根据A，P，M 三点共线，设 ，根据 /M平面 C，即 0nB，求 的值，即可求出的值.试题解析：（1）因为平面 PAD平面 B， AD，所以 AB平面 ，所以 ，又因为 P，所以 平面 ；（2）取 的中点 O，连结 ， C，因为 D，所以 A.又因为 平面 ，平面 PD平面 B，20所以 PO平面 ABCD.因为 平面 ，所以 PO.因为 ，所以 .如图建立空间直角坐标系 xyz，由题意得， )1,0(,(),02(),1,0( PDCBA.设平面 P的法向量为 ),zyxn，则,0nD即 ,02zy令 z，则 1x.所以 ),(.又 1,PB，所以 3,c
31、osPBn.所以直线 与平面 PCD所成角的正弦值为 .（3）设 M是棱 PA上一点，则存在 1,0使得 APM.因此点 ),(),1,0(B.因为 平面 CD，所以 平面 PCD当且仅当 0nB，21即 0)2,1(,(，解得 41.所以在棱 PA上存在点 M使得 B 平面 PCD，此时 41AM.考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得
32、到点到面的距离等.3.【2016 年高考四川理数】 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，ADBC， ADC= PAB=90，BC=CD= 12AD，E 为边 AD 的中点，异面直线PA 与 CD 所成的角为 90. （）在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由；（）若二面角 P-CD-A 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值. EDCBPA【答案】 （）详见解析；（） 13.【解析】试题分析：（）探索线面平行，根据是线面平行的判定定理，先证明线线平行，再得线面平行，而这可以利用已知的平行，易得 CD EB；从而知 M为
33、DC 和 AB 的交点；（）求线面角，可以先找到这个角，即作出直线在平面内的射影，再在三角形中解出，也可以利用已知图形中的垂直建立空间直角坐标系，用向量法求出线面角（通过平面的法向量与直线的方向向量的夹角来求得） 试题解析：（）在梯形 ABCD 中， AB 与 CD 不平行.延长 AB， DC，相交于点 M（ M平面 PAB） ，点 M 即为所求的一个点.理由如下：由已知， BC ED，且 BC=ED.所以四边形 BCDE 是平行四边形.，所以 CD EB22从而 CM EB.又 EB平面 PBE， CM平面 PBE，所以 CM平面 PBE.（说明：延长 AP 至点 N，使得 AP=PN，则所
34、找的点可以是直线 MN 上任意一点）于是 CE平面 PAH.所以平面 PCE平面 PAH.过 A 作 AQPH 于 Q，则 AQ平面 PCE.所以APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角.在 RtAEH 中，AEH=45，AE=1，所以 AH= 2.在 RtPAH 中，PH= 2PAH=3 ，所以 sinAPH= =1.23方法二：由已知，CDPA，CDAD，PA AD=A，所以 CD平面 PAD.于是 CDPD.从而PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角. 所以PDA=45.由 PAAB，可得 PA平面 ABCD.设 BC=1，则在 RtPAD 中，PA=AD=2.作 AyAD，以 A
35、为原点，以 D, AP的方向分别为 x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，则 A（0,0,0） ，P（0,0,2） ，C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以 PE=（1,0,-2） ， C=（1,1,0） ，=（0,0,2）设平面 PCE 的法向量为 n=(x,y,z)，由 0,n得 20,xzy 设 x=2，解得 n=(2,-2,1).设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 ，则 sin= |nAP= 2213() .所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为 13 .24zy xME DCBPA考点：线线平行、线面平行、向量法. 【名师点睛】本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角） ，一种方法可根据定义作出这个角（注意还要证明） ，然后通过解三角形求出这个角另一种方法建立空间直角坐标系，用向量法求角，这种方法主要是计算，不需要“作角、证明” ，关键是记住相应公式即可
