1、1专题 20 圆锥曲线的综合问题 文1.定值与最值及范围问题掌握与圆锥曲线有关的最值、定值、参数范围问题掌握 解答题 2.存在性问题了解并掌握与圆锥曲线有关的存在性问题掌握 解答题 分析解读 1.会处理动曲线(含直线)过定点的问题.2.会证明与曲线上的动点有关的定值问题.3.会按条件建立目标函数,研究变量的最值问题及变量的取值范围问题,注意运用“数形结合” “几何法”求某些量的最值.4.能与其他知识交汇,从假设结论成立入手,通过推理论证解答存在性问题.5.本节在高考中围绕直线与圆锥曲线的位置关系,展开对定值、最值、参数取值范围等问题的考查,注重对数学思想方法的考查,分值约为 12 分,难度偏大
2、.2018 年高考全景展示1 【2018 年江苏卷】在平面直角坐标系 中， A 为直线 上在第一象限内的点， ，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若 ，则点 A 的横坐标为_【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.2点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.2 【2018 年浙江卷】如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C： y2=4x 上
3、存在不同的两点A， B 满足 PA， PB 的中点均在 C 上（）设 AB 中点为 M，证明： PM 垂直于 y 轴；（）若 P 是半椭圆 x2+ =1(xb0)的离心率为 2,椭圆 C 截直线 y=1 所得线段的长度为 2.()求椭圆 C 的方程；()动直线 l:y=kx+m(m0)交椭圆 C 于 A,B 两点,交 y 轴于点 M.点 N 是 M 关于 O 的对称点,圆 N 的半径为|NO|. 设 D 为 AB 的中点, DE,DF 与圆 N 分别相切于点 E,F,求 EDF 的最小值.6【答案】()214xy;() EDF的最小值为 2.【解析】试题分析：() 2ca得所 b,由椭圆 C
4、截直线 y=1 所得线段的长度为 2得,2ab,求得椭圆的方程为214xy；()（2 由24xykm,解得22(1)40kxkm,确定 22(,)kmD, 42231DNk,所以241sinONkFD,由此可得 F的最小值为 ,EDF的最小值为 2.（）设 12(,)(,)AxyB，联立方程 24km7得 22(1)440kxkm，由 0 得 2 （*）且 11k ，因此 2y ，所以 2(,)mDk ，又 0,)N ，所以 222()()1mkk 整理得：42243()D，因为 NFm 所以2422(31)83(1)kk令 28,tt 故 14k 所以22616()NDtFt.8故 12ND
5、F，设 E，则 1sin2N ，所以 得最小值为 6.从而 EDF的最小值为 3，此时直线 l的斜率时 0.综上所述：当 0k， (2,0)(,)m时， EDF取得最小值为 3.【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、 【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题常见解法：几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决；代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及
6、导数法求解2.【2017 天津，文 20】已知椭圆21(0)xyab的左焦点为 ,()0Fc，右顶点为 A，点 E的坐标为 (0,)c， EFA 的面积为2b.9（I）求椭圆的离心率；（II）设点 Q在线段 AE上， 3|2FQc，延长线段 FQ与椭圆交于点 P，点 M， N在 x轴上，PMN，且直线 P与直线 N间的距离为 ，四边形 N的面积为 3c.（i）求直线 F的斜率；（ii）求椭圆的方程.【答案】 （） 12 （） （） 34 （）216xy【解析】试题分析：（）根据图象分析出21()2bca， 再结合 22bac，求得离心率；（） （）首先设直线 FP的方程是 xmy，再写出直线
7、AE的方程，方程联立得到点 Q的坐标，根据32Qc得到 的值，求得直线的斜率；（）直线 FP的方程和椭圆方程联立，求得点 P的坐标，再求 ,，确定直线 PM和 QN都垂直于直线 ，根据平面几何关系求面积，求 c，解椭圆方程.（） （）依题意，设直线 FP 的方程为 (0)xmyc，则直线 FP 的斜率为 1m.由（）知 2ac，可得直线 AE 的方程为 12，即 20xyc，与直线 FP 的方程联立，可解得 ()3,mxy，即点 Q 的坐标为 ()3,).由已知| FQ|= 2，有 222()3)ccm，整理得 24，所以 43，即直线FP 的斜率为 4.10【考点】1.椭圆方程；2.椭圆的几
8、何性质；3.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用 ,abce的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再求解过程逐步发现四边形PQNM的几何关系，从而求解面积，计算结果，本题计算量比较大 3.【2017 浙江，21】（本题满分 15 分）如图，已知抛物线 2xy，点 A 1()24， ， 39()B， ，抛物线上的点 )231)(,xy过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q11（）求直线 AP 斜率的取值范
9、围；（）求 |PQA的最大值【答案】 （） )1,(；（ ） 276【解析】试题分析：（）由两点求斜率公式可得 AP 的斜率为 21x，由 32x，得 AP 斜率的取值范围；（）联立直线 AP 与 BQ 的方程，得 Q 的横坐标，进而表达 |PA与 |Q的长度，通过函数3)1()(kkf求解 |PA的最大值（）联立直 线 AP 与 BQ 的方 程 10,2493,kxy解得点 Q 的横坐标是 )1(2kxQ，因为| PA|= 21()kx= )1(2k|PQ|= )(122k，所以| PA|PQ|= 3)(令 3)(f，因为 2)1(4)( kkf ，所以 f(k)在区间 )21,(上单调递增
10、，1,2上单调递减，因此当 k= 12时， |PQA取得最大值 76 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达 |PA与 |的长度，通过函数 3)1()(kkf求解|PQA的最大值 2016 年高考全景展示121. 【2016 高考山东文数】(本小题满分 14 分)已知椭圆 C: （ ab0）的长轴长为 4，焦距为 2 .（I）求椭圆 C 的方程；()过动点 M(0， m)(m0)的直线交 x 轴与点 N，交 C 于点 A， P(P 在第一象限)，且 M 是线段 PN 的中点.过点
11、 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延长线 QM 交 C 于点 B.(i)设直线 PM、 QM 的斜率分别为 k、 k，证明 为定值.(ii)求直线 AB 的斜率的最小值.【答案】()214xy.()(i)见解析；(ii)直线 AB 的斜率的最小值为 62 .【解析】试题分析：()分别计算 ,ab即得.()(i)设 00,Pxy，利用对称点可得 2,.mQx 得到直线 PM 的斜率，直线 QM 的斜率，即可证得.(ii)设 12,AxyB，分别将直线 PA 的方程 ykxm，直线 QB 的方程 3ykxm与椭圆方程24联立，应用一元二次方程根与系数的关系得到 21x、 21y及 ABk
12、用 表示的式子，进一步应用基本不等式即得.13()(i)设 00,Pxy，由 ,Mm，可得 2,.Qxm 所以 直线 PM 的斜率 0k ，直线 QM 的斜率 0023x.此时 3k，所以 k为定值 .(ii)设 12,AxyB，直线 PA 的方程为 kxm，直线 QB 的方程为 3y.联立 214kx，整理得 2240kxmk.由 012x可得 120x ，所以 120ky，14由 0,mx，可知 0k，所以 162k ，等号当且仅当 6k时取得.此时 2648m，即 147，符号题意.所以直线 AB 的斜率的最小值为 62 . 考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系
13、；3.基本不等式.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用 ,abce的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分析问题解决问题的能力等.2.【2016 高考天津文数】 （设椭圆 132yax（ 3a）的右焦点为 F，右顶点为 A，已知|3|1|FAeO，其中 O 为原点， e为椭圆的离心率.（）求椭圆的方程；（）设过点 的直线 l与椭圆交于点 B（ 不在 x轴上）
14、 ，垂直于 l的直线与 l交于点 M，与 y轴交于点H，若 FB，且 MAO，求直线的 l斜率.15【答案】 （）2143xy（） 64【解析】试题分析：（）求椭圆标准方程，只需确定量，由 13|cOFA，得 13()ca，再利用 223acb， 可解得 21c， 24a（）先化简条件： MO|AM， 即M 再 OA 中垂线上， Mx， 再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求 B；利用两直线方程组求 H，最后根据 HFB， 列等量关系解出直线斜率.（2）设直线的斜率为 (0)k，则直线 l的方程为 (2)ykx，设 (,)Bxy，由方程组21,43()xyk消去 ，整理得 222(43)161
15、0kx，解得 2x或28643k，由题意得28Bk，从而 243Bky，由（1）知 (,0)F，设 (,)H，有 (1,)HFy，2941(,)3kBF，由 BH，得 0，所以224903k，解得2941ky，因此直线 M的方程为214yxk，设 (,)Mx，由方程组2194,(),yxk消去 ，得2091()Mk，16在 MAO中， AO|M，即 22()Mxyx，化简得 1x，即2091()k，解得 64k或 k，所以直线 l的斜率为 64或 k. 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然
16、后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型3.【2016 高考四川文科】 （本小题满分 13 分）已知椭圆 E：21(0)xyab的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1(3,)P在椭圆 E 上.()求椭圆 E 的方程；()设不过原点 O 且斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不 同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 M，直线 OM 与椭1
17、2圆 E 交于 C，D，证明： MABCD【答案】 （1）214xy；（2）证明详见解析.【解析】试题分析：（）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是正三角形的三个顶点可得 2ab，椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用 1(3,)2P在椭圆上，可解出 b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（）首先设出直线 l方程为 yxm，同时设交点 12(,)(,)AxyB，把 l方程与椭圆方程联立后消去 y得 x的二次方程，利用根与系数关系，得 12,，由 M214A求得 MB（用 m表示） ，由17OM方程 12yx具体地得出 ,CD坐标，也可计算出 MCD，从而证得相等试题解析：（I）由已知， a=2b.又椭
18、圆21(0)xyab过点 1(3,)2P，故 214b，解得 21b.所以椭圆 E 的方程是24xy.考点：椭圆的标准方程及其几何性质.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为 12(,),xy，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得 12,x，再把 MAB用 2表示出来，并代入刚才的1812,x，这种方法是解析几何中的“设而不求”法可减少计算量，简化解题过程4.【2016 高考新课标 1 文数】 （本小题满分 12 分）在直角坐标系 xOy中,直线 l:y=t(t0)交
19、 y 轴于点 M,交抛物线 C： 2(0)ypx于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连结 ON 并延长交 C 于点 H.（I）求 OHN；（II）除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由.【答案】 （I）2（II）没有【解答】试题分析：先确定 ),(2tpN,O的方程为 xtpy,代入 pxy2整理得 02xt,解得 1,ptx2,得 ),(2tH,由此可得 为 H的中点,即 |ON.（II）把直线 M的方程 xtpy2,与 pxy2联立得 0422ty,解得 ty21,即直线与 C只有一个公共点,所以除 以外直线 M与 C没有其它公共点. （）直线 MH与 C除 以外没有其它公共点 .理由如下：直线 的方程为 xtpy2,即 )(ty.代入 px2得 0422ty,解得 ty21,即直线 与 只有一个公共点,所以除 H以外直线 M与 C没有其它公共点.考点：直线与抛物线【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一19个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.
