1、1专题 19 抛物线 考纲解读明方向考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.抛物线的定义及其标准方程 掌握选择题解答题 2.抛物线的几何性质 掌握选择题解答题 3.直线与抛物线的位置关系掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质掌握 选择题解答题 分析解读 1.熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式.2.会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质,会由几何性质确定抛物线的标准方程.3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主,分值约为 12 分,属偏难题.2018 年高考全景展示1 【2
2、018 年理新课标 I 卷】设抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为 的直线与 C 交于M， N 两点，则 =A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】D点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出 ，之后借助于抛物线的方程求得 ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点 M、N 的坐标，应用韦达定理得到结果.2 【2018 年浙江卷】如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C：
3、 y2=4x 上存在不同的两点A， B 满足 PA， PB 的中点均在 C 上2（）设 AB 中点为 M，证明： PM 垂直于 y 轴； （）若 P 是半椭圆 x2+ =1(x0)上的动点，求 PAB 面积的取值范围【答案】 （）见解析（）【解析】分析: （）设 P,A,B 的纵坐标为 ，根据中点坐标公式得 PA,PB 的中点坐标，代入抛物线方程，可得 ，即得结论， （）由（）可得 PAB 面积为 ，利用根与系数的关系可表示 为 的函数，根据半椭圆范围以及二次函数性质确定面积取值范围.详解：（）设 ， ， 因为 ， 的中点在抛物线上，所以 ， 为方程，即 的两个不同的实数根所以 因此， 垂直于
4、 轴（）由（）可知 ，所以 ， 因此， 的面积 因为 ，所以因此， 面积的取值范围是 点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.3 【2018 年理北京卷】已知抛物线 C： =2px 经过点 （ 1，2） 过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A， B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（）求直线 l 的斜率的取值范围；3（）设 O 为原点，
5、 ， ，求证： 为定值【答案】(1) 取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1）(2)证明过程见解析详解：解：（）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2） ，所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为y2=4x由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 y=kx+1（ k0） 由 得依题意 ，解得 k0 或 0k1又 PA， PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点（1，-2） 从而 k-3所以直线 l 斜率的取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1） （）设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） 由（I）知 ， 直线 PA 的方程为 y2=令 x
6、=0，得点 M 的纵坐标为 同理得点 N 的纵坐标为由 ， 得 ， 所以所以 为定值点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.2017 年高考全景展示1.【2017 课标 1，理 10】已知 F 为抛物线 C： y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1， l2，直线 l1与 C 交于 A、 B 两点，直线 l2与 C 交于 D、 E 两点，则
7、| AB|+|DE|的最小值为4A16 B14 C12 D10【答案】A【解析】试题分析：设 1234(,)(,)(,)(,)AxyDxyE，直线 1l方程为 1()ykx联立方程214()yk得 2211140k21214kx21同理直线 2l与抛物线的交点满足234x由抛物线定义可知 1234|ABDExp221221144688kkk当且仅当 12（或 ）时，取得等号.【考点】抛物线的简单性质【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本
8、不等式.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为 ，则 2|cospAB，则22| sincos()pDE，所以 22221| 4()cosincosinpABDE2222221in4coi)4()()6i si 2.【2017 课标 II，理 16】已知 F是抛物线 C:28yx的焦点， M是 C上一点， F的延长线交 y轴于点 N。若 M为 的中点，则 N 。【答案】6【解析】试题分析：如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与 x轴交于点 F，做 MBl与点 ， NAl与点 A，由抛物线的解析式可得准线方程为 2x，则 ,4AN，5在直角梯形 ANF中，中位线 32A
9、NFBM，由抛物线的定义有： 3，结合题意，有 M，线段 FN 的长度： 6。【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。3.【2017 北京，理 18】已知抛物线 C： y2=2px 过点 P（1，1）.过点（0， 12）作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点
10、M， N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP， ON 交于点 A， B，其中 O 为原点.（）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证： A 为线段 BM 的中点.【答案】 （）方程为 2yx，抛物线 C 的焦点坐标为（ 14，0） ，准线方程为 14x.（）详见解析.【解析】6（）由题意，设直线 l 的方程为 12ykx（ 0） ， l 与抛物线 C 的交点为 1(,)Mxy， 2(,)Nxy.由 21ykx，得 24(4)kx.则 12xk， 12k.因为点 P 的坐标为（1，1） ，所以直线 OP 的方程为 yx，点 A 的坐标为 1(,)xy.直线 ON 的方程
11、为 2yx，点 B 的坐标为 21(,)x.因为 211212yyxx1212()()kxkx121()()kx2()4kx0，所以 21y.故 A 为线段 BM 的中点.【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲 线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.4.【2017 浙江，21】（本题满分 15 分）如图，已知抛物线
12、2xy，点 A 1()24， ， 39()B， ，抛物线上的点 )231)(,xyP过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q （）求直线 AP 斜率的取值范围；7（）求 |PQA的最大值【答案】 （） )1,(；（ ） 276【解析】试题分析：（）由两点求斜率公式可得 AP 的斜率为 21x，由 32x，得 AP 斜率的取值范围；（）联立直线 AP 与 BQ 的方程，得 Q 的横坐标，进而表达 |PA与 |Q的长度，通过函数3)1()(kkf求解 |PA的最大值试题解析：（）设直线 AP 的斜率为 k，则 2142x， 32x，直线 AP 斜率的取值范围是)1,(（）联立直线 AP 与 BQ
13、 的方程 10,2493,kxy解得点 Q 的横坐标是 )1(2kxQ，因为| PA|= 21()kx= )1(2k|PQ|= )(122k，所以| PA|PQ|= 3)(令 3)()(f，因为 2)1(4)( kkf ，所以 f(k)在区间 )21,(上单调递增，)1,2(上单调递减，因此当 k= 12时， |PQA取得最大值 76【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达 |PA与 |的长度，通过函数 3)1()(kkf求解8|PQA的最大值 2016 年高考全景展示1.【201
14、6 年高考四川理数】设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线 2(p0)yx 上任意一点， M是线段 PF 上的点，且 PM=2 F,则直线 OM 的斜率的最大值为( )（A） 3 （B） 2 （C） 2 （D）1【答案】C【解析】试题分析：设 2,PptMxy（不妨设 0t） ，则 2,.pFPtt由已知得13FM，2,36,pxty，2,3,pty， 212OMtkt， max2OMk，故选 C.考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点 P的坐标，利用向量法求出点 的坐标，是我们求点坐标的常
15、用方法，由于要求最大值，因此我们把 k斜率用参数t表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值2.【2016 年高考四川理数】设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线 2(p0)yx 上任意一点， M是线段 PF 上的点，且 PM=2 F,则直线 OM 的斜率的最大值为( )（A） 3 （B） 2 （C） 2 （D）1【答案】C【解析】9试题分析：设 2,PptMxy（不妨设 0t） ，则 2,.pFPtt由已知得13FM，2,36,pxty，2,3,pty， 212OMtkt， max2OMk，故选 C.考点：抛物线的简单的几何性质，基本不
16、等式的应用【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点 P的坐标，利用向量法求出点 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把 k斜率用参数t表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值3.【2016 高考新课标 1 卷】以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、 B 两点,交 C 的准线于 D、 E 两点.已知|AB|=42,|DE|= 5,则 C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【答案】B考点：抛物线的性质.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几
17、何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一10定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.4.【2016 高考天津理数】设抛物线2xpty， （ t 为参数， p0）的焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点A 作 l 的垂线，垂足为 B.设 C（ 7p,0） ， AF 与 BC 相交于点 E.若| CF|=2|AF|，且 ACE 的面积为 32，则p的值为_. 【答案】 6考点：抛物线定义【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理2若 P(x0， y0)为抛物线 y22 px(p0)上一点，由定义易得| PF| x0 ；
18、若过焦点的弦 AB 的端点坐标为p2A(x1， y1)， B(x2， y2)，则弦长为| AB| x1 x2 p， x1 x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到5.【2016 高考浙江理数】若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是_【答案】 9【解析】试题分析： 109MMxx考点：抛物线的定义【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到 y轴的距离【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一
19、方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决116.【2016 高考江苏卷】 （本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 :20lxy，抛物线 2:y(0)Cpx（1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.求证：线段 PQ 的中点坐标为 (2,).p；求 p 的取值范围.【答案】 （1） xy82（2）详见解
20、析， )34,0(【解析】试题分析：（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程（2）利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证，利用直线与抛物线位置关系确定数量关系： 0)4(422pp，解出 p的取值范围.试题解析：解：（1）抛物线 2:y(0)Cpx的焦点为 (,0)2p由点 (,0)2p在直线 :0lx上，得 ，即 4.所以抛物线 C 的方程为 28.y（2）设 12(x,)(,)PQ，线段 PQ 的中点 0(x,y)M因为点 P 和 Q 关于直线 l对称，所以直线 l垂直平分线段 PQ,于是直线 PQ 的斜率为 ，则可设其方程为 .yxb由2ypxb消去 得 20(*)yp12
21、因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以 12,y从而 2()4()0pb，化简得 0pb.方程（*）的两根为 21,2y，从而 12.yp因为 0(x,)M在直线 l上，所以 0.xp因此，线段 PQ 的中点坐标为 (2,).因为 (2,).p在直线 yxb上所以 b，即 2.p由知 20p，于是 ()0，所以 4.3p因此 的取值范围为 4(,).3考点：直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3
22、)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围7.【2016 高考新课标 3 理数】已知抛物线 C： 2yx的焦点为 F，平行于 x轴的两条直线 12,l分别交C于 ,AB两点，交 C的准线于 PQ，两点（I）若 F在线段 A上， R是 的中点，证明 ARQ；（II）若 的面积是 BF的面积的两倍，求 B中点的轨迹方程.【答案】 （）见解析；（） 21yx【解析】试题分析：（）设出与 轴 垂直的两条直线，然后得出 ,APQR的坐标，然后通过证明直线 AR与直线 FQ的斜率相等即可证明结果了；（
23、）设直线 l与 x轴的交点坐标 1(,0)Dx，利用面积可求得 1x，设出 AB的中点 (,)Exy，根据 AB与 x轴是否垂直分两种情况结合 ABEk求解13（）设 l与 x轴的交点为 )0,(1xD，则 2,221 baSabFabSPQFABF .由题设可得 1x，所以 01x（舍去） ， 1x.设满足条件的 的中点为 ),(yE.当 AB与 x轴不垂直时，由 DABk可得 )(12xyba.而 yba2，所以 )1(2x.当 与 x轴垂直时， E与 重合，所以，所求轨迹方程为 12xy. 12 分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法【方法归纳】 （1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法） ，利用代入法求解时必须找准主动点与从动点
