1、1专题 19 抛物线 文考纲解读明方向考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.抛物线的定义及其标准方程掌握选择题解答题2.抛物线的几何性质掌握选择题解答题3.直线与抛物线的位置关系掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质掌握选择题解答题分析解读 1.熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式.2.会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质,会由几何性质确定抛物线的标准方程.3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主,分值约为 12 分,属偏难题.2018 年高考全景展示1 【2018 年
2、文北京卷】已知直线 l 过点（1,0）且垂直于 轴，若 l 被抛物线 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为_.【答案】【解析】分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点 ，将点 坐标代入可求参数的值，进而可求焦点坐标.2点睛：此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.2 【2018 年全国卷文】已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ，两点若 ，则 _【答案】2【解析】分析：利用点差法进行计算即可。点睛：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛
3、物线的性质，设 ，利用点差法得到 ，取 AB 中点 , 分别过点 A,B 作准线 的垂线，垂足分别为 ，由抛物线的性质得到 ，进而得到斜率。3 【2018 年新课标 I 卷文】设抛物线 ，点 ， ，过点 的直线 与 交于 ，两点（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；（2）证明： 【答案】(1) y= 或 (2)见解析.【解析】分析：(1)首先根据 与 轴垂直，且过点 ，求得直线 l 的方程为 x=1，代入抛物线方程求得点 M 的坐标为 或 ，利用两点式求得直线 的方程；(2)分直线 l 与 x 轴垂直、 l 与 x 轴不垂3直两种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通
4、过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.详解：（1）当 l 与 x 轴垂直时， l 的方程为 x=2，可得 M 的坐标为（2，2）或（2 ，2） 所以直线 BM 的方程为 y= 或 （2 ）当 l 与 x 轴垂直时， AB 为 MN 的垂直平分线，所以 ABM= ABN当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 ， M（ x1， y1） ， N（ x2， y2） ，则 x10， x20由 得 ky22y4k=0，可知y1+y2= ， y1y2=4直线 BM， BN 的斜率之和为 将 ， 及 y1+y2， y1y2的表达式代入 式分子，可得所以 kBM+kBN=0，可知 BM， BN 的倾斜角
5、互补，所以 ABM+ ABN综上， ABM= ABN点睛：该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.2017 年高考全景展示1.2017 课标 II，文 12】过抛物线2:4Cyx的焦点 F，且斜率为 3的直线交 C于点 M（ 在 x轴上方）， l 为 C的准线，
6、点 N在 l上且 Ml,则 到直线 N的距离为 A. 5 B.2 C. 3 D. 【答案】C【考点】直线与抛物线位置关系4【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法. 2.【2017 天津，文 12】设抛物线 24yx的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若 10
7、FAC，则圆的方程为 .【答案】 22(1)(3)xy【解析】【考点】1.抛物线的方程；2.圆的方程.【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆，抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是 012CAF，会不会用向量的坐标表示 cosCAF，根据图象，可设圆心为1,Cm，那么方程就是 21xym，若能用向量的坐标表示角，即可求得 m，问题也就迎刃而解了.3.【2017 课标 1，文 20】设 A， B 为曲线 C： y=24x上两点， A 与 B 的横坐标之和为 4（1）求直线 AB 的斜率；（2）设 M 为曲线 C 上一点， C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且
8、 AMBM，求直线 AB 的方程【答案】 （1）1； （2） 7yx【解析】试题分析：（1）设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，由两点求斜率公式求 AB 的斜率；（2）联立直线与抛物线方程，消 y，得 2|=|4()Bm，解出 试题解析：（1）设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，则 12x，214xy，2， x1+x2=4，5于是直线 AB 的斜率 12124yxk（2）由24xy，得 设 M（ x3， y3） ，由题设知 312x，解得 32x，于是 M（2 ，1） 设直线 AB 的方程为 m，故线段 AB 的中点为 N（2 ， 2+m） ，| MN|=|
9、m+1|将 yx代入24xy得 40当 16()0m，即 1时， 1,21x从而 12|=|()ABxm由题设知 |MN，即 412()，解得 7m所以直线 AB 的方程为 7yx【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题 的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用2016 年高考全景展示1. 【2016 高考四川文科】抛物线
10、 24yx的焦点坐标是( )(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)【答案】D【解析】考点：抛物线的定义.【名师点睛】本题考查抛物线的定义解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单的性质是我们重点要掌握的内容，一定要熟记掌握2.【2016 高考新课标 2 文数】设 F 为抛物线 C： y2=4x 的焦点，曲线 y= kx（ k0）与 C 交于点 P， PF x 轴，则 k=（ ）6（A） 12（B）1 （C） 32（D）2【答案】D【解析】试题分析：因为 F抛物线 24yx的焦点，所以 (1,0)F，又因为曲线
11、 (0)kyx与 C交于点 P， x轴，所以 2k，所以 k，选 D. 考点： 抛物线的性质，反比例函数的性质.【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置. 对函数 y= x (0)，当 时，在 (,0)，(0,)上是减函数，当 0k时，在 (,0)， (,)上是增函数.3.2016 高考新课标文数已知抛物线 C： 2yx的焦点为 F，平行于 轴的两条直线 12,l分别交 C于,AB两点，交 C的准线于 PQ，两点（I）若 F在线段 AB上， R是 的中点，证明 ARQ；（II）若 的面积是 F的面积的两倍，求 B中点的轨迹方程.【答案】 （）见解析；（） 21yx【解析】试题分析：（）
12、设出与 轴垂直的两条直线，然后得出 ,ABPQR的坐标，然后通过证明直线 AR与直线 FQ的斜率相等即可证明结果了；（）设直线 l与 x轴的交点坐标 1(,0)Dx，利用面积可求得 1x，设出 AB的中点 (,)Exy，根据 AB与 x轴是否垂直分两种情况结合 ABEk求解（）由于 F在线段 AB上，故 01ab.记 AR的斜率为 1k， Q的斜率为 2k，则 2211kbaba，7所以 ARFQ. 5 分（）设 l与 x轴的交点为 )0,(1xD，则 2,2211baSababSPQFABF .由题设可得 1x，所以 01x（舍去） ， 1x.设满足条件的 AB的中点为 ),(yE.当 与
13、x轴不垂直时， 由 DABk可得 )1(2xyba.而 yba2，所以 )1(2x.当 AB与 x轴垂直时， E与 重合，所以，所求轨迹方程为 12xy. 12 分考点： 1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法【方法归纳】 （1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法） ，利用代入法求解时必须找准主动点与从动点4.【2016 高考浙江文数】 （本题满分 15 分）如图，设抛物线 2(0)ypx的焦点为 F，抛物线上的点A 到 y 轴的距离等于| AF|-1.（I）求 p
14、 的值；（II）若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N， AN 与 x轴交于点 M.求 M 的横坐标的取值范围.【答案】 （I） 2p；（II） ,02,.【解析】试题分析：（I）由抛物线的定义可得 p的值；（II）设点 A的坐标和直线 F的方程，通过联立方程组可得点 的坐标，进而可得点 的坐标，再利用 ， ， 三点共线可得 m用含有 t的式子表示，进而8可得 的横坐标的取值范围.()由()得抛物线的方程为 24,F10yx，可设 2,0,1Att.因为 AF 不垂直于 y 轴，可设直线 AF:x=sy+1, s ,由 4yxs 消去 x 得240ys，故 124，所以 21,Bt.又直线 AB 的斜率为 21t，故直线 FN 的斜率为 t，综上，点 M 的横坐标的取值范围是 ,02,.考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系. 【思路点睛】（I）当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到 y轴的距离；（II）通过联立方程组可得点 的坐标，进而可得点 的坐标，再利用 A， ， 三点共线可得 m用含有 t的式子表示，进而可得 的横坐标的取值范围.
