1、1专题 18 双曲线 文考纲解读明方向考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.双曲线的定义及其标准方程了解选择题填空题2.双曲线的几何性质了解选择题填空题3.直线与双曲线的位置关系了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质了解选择题解答题分析解读 1.能根据所给几何条件求双曲线方程,能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素.2.理解参数 a、b、c、e 的关系,渐近线及其几何意义.3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.能灵活运用数形结合的思想方法.5.本节在高考中以双曲线的方程和性质为主,分值约为 5 分,属中档题.2
2、018 年高考全景展示1 【2018 年浙江卷】双曲线 的焦点坐标是A. ( ，0)，( ，0) B. (2，0)，(2，0) C. (0， )，(0， ) D. (0，2)，(0，2)【答案】B【解析】分析:根据双曲线方程确定焦点位置，再根据 求焦点坐标.2点睛：由双曲线方程 可得焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，渐近线方程为 . 2 【2018 年天津卷文】已知双曲线 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点.设 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 则双曲线的方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由题意首先求得 A,B 的坐标，然后利用点到直线距离公
3、式求得 b 的值，之后求解 a 的值即可确定双曲线方程.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a， b， c， e 及渐近线之间的关系，求出 a， b 的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 ，再由条件求出 的值即可.3 【2018 年文北京卷】若双曲线 的离心率为 ，则 a=_.【答案】43【解析】分析：根据离心率公式 ，及双曲线中 的关系可联立方程组，进而求解参数 的值.详解：在双曲线中， ，且 ， ， 点睛：此题考查双曲线的基本知识，离心率是高考对于双曲线考查的一个重
4、要考点，根据双曲线的离心率求双曲线的标准方程及双曲线的渐近线都是常见的出题形式，解题的关键在于利用公式 ，找到 之间的关系.4 【2018 年江苏卷】在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条渐近线的距离为 ，则其离心率的值是 _【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.详解：因为双曲线的焦点 到渐近线 即 的距离为 所以 ，因此 点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为 b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为 a.2017 年高考全景展示1.【2017 课表 1，文 5】已知 F 是双曲线 C：132yx的右焦点， P 是 C 上一点，且 PF 与 x
5、 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则 APF 的面积为A 3B1 2C2 3D3 2【答案】 D【解析】【考点】双曲线4【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题由双曲线方程得 )0,2(F，结合 PF 与 x轴垂直，可得 3|PF，最后由点 A 的坐标是(1，3)，计算 APF 的面积2.【2017 课标 II，文 5】若 1a，则双曲线21xya的离心率的取值范围是A. (2,) B. (2,) C. (,) D. (,2) 【答案】C【解析】由题意221cae，因为 1a，所以 21a，则 2e，故选 C.【考点】双曲线离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范
6、围问题其关键就是确立一个 关于 ,abc的方程或不等式，再根据 ,abc的关系消掉 b得到 ,ac的关系式，而建立关于 ,abc的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 3.【2017 天津，文 5】已知双曲线21(0,)xyab的左焦点为 F，点 A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为 2 的等边三角形（ O为原点） ，则双曲线的方程为（A）214xy（B）214xy（C）213xy（D）213yx【答案】 D 【解析】【考点】双曲线方程【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题解题时要注意5a、 b、 c的关系 22ab，否则很
7、容易出现错误解本题首先画图，掌握题中所给的几何关系，再结合双曲线的一些几何性质，得到 ,c的关系，联立方程，求得 ,abc的值， 4.【2017 山东，文 15】在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线21(0)xy，的右支与焦点为 F 的抛物线 2(0)xpy交于 A,B 两点,若| AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】 【解析】试题分析：由抛物线定义可得： |=422ABABppFByyp,因为222210xyapbyaabp,所以 22ABbyab渐近线方程为 2yx.【考点】抛物线的定义与性质、双曲线的几何性质【名师点睛】若 AB 是抛物线 20ypx的焦点弦
8、,设 A(x1,y1),B(x2,y2)则(1)y1y2 p2,x1x2 .(2)|AB| x1 x2 p ( 为 AB 的倾斜角)(3) 为定值 .p24 2psin2 1|AF| 1|BF| 2p(4)以 AB 为直径的圆与准线相切 (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切5.【2017 课标 3，文 14】双曲线29ya（ a0）的一条渐近线方程为 35x，则 a= .【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3yxa，结合题意可得： 5a. 【考点】双曲线渐近线【名师点睛】1.已知双曲线方程21xyab求渐近线：20xybxaba2.已知渐近线 ymx 设双曲线标
9、准方程 2m63.双曲线焦点到渐近线距离为 b，垂足为对应准线与渐近线的交点.6.【2017 江苏，8】 在平面直角坐标系 xOy中,双曲线213xy的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是 12,F,则四边形 12FPQ的面积是 .【答案】 3【考点】双曲线渐近线【名师点睛】1.已知双曲线方程21xyab求渐近线：20xybxaba2.已知渐近线 ymx 设双曲线标准方程 2m3，双曲线焦点到渐 近线距离为 ，垂足为对应准线与渐近线的交点.2016 年高考全景展示1. 【2016 高考山东文数】已知双曲线 E：2xa yb=1（ a0， b0） 矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上
10、，AB， CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是_【答案】 2 【解析】试题分析：依题意，不妨设 6,4ABD，作出图象如下图所示7考点：双曲线的几何性质【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等.2.【2016 高考浙江文数】设双曲线 x2 3y=1 的左、右焦点分别为 F1， F2若点 P 在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则| PF1|+|PF2|的取值范围是_【答案】 (7,8)【解析】考点：双
11、曲线的几何性质.【思路点睛】先由对称性可设点 在右支上，进而可得 1F和 2，再由 12F为锐角三角形可得2211FF，进而可得 x的不等式，解不等式可得 的取值范围3.【2016 高考北京文数】已知双曲线21yab（ 0a， b）的一条渐近线为 20xy，一个焦点为 (5,0)，则 a_； _.【答案】 12b.【解析】试题分析：依题意有52cba,结合 22cab,解得 1,2b. 8考点：双曲线的基本概念【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为 12ByAx的形式，当 0A， B， A时为椭圆，当 0AB时为双曲线.
