1、1专题 17 椭圆 考纲解读明方向考纲解读考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.椭圆的定义及其标准方程 掌握 选择题解答题 2.椭圆的几何性质 掌握 填空题解答题 3.直线与椭圆的位置关系掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质掌握 解答题 分析解读 1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程.2.能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率)解决相关问题.3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主,与向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强,分值约为 12
2、分,难度较大.2018 年高考全景展示1 【2018 年理数全国卷 II】已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先根据条件得 PF2=2c,再利用正弦定理得 a,c 关系，即得离心率.详解：因为 为等腰三角形， ，所以 PF2=F1F2=2c,由 斜率为 得，由正弦定理得 ,所以 ，选 D.2点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、
3、点的坐标的范围等.2 【2018 年浙江卷】已知点 P(0，1)，椭圆 +y2=m(m1)上两点 A， B 满足 =2 ，则当 m=_时，点 B 横坐标的绝对值最大【答案】5点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.3 【2018 年理北京卷】已知椭圆 ，双曲线 若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为_；双曲线 N 的离心率为_ 【答案】 2
4、【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中 关系，即得双曲线 N 的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得 ，解得椭圆 M 的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得 ，所以椭圆 M 的离心率为 双曲线 N 的渐近线方程为 ，由题意得双曲线 N 的一条渐近线的倾斜角为 ， 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根3据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.4 【2018 年理数天津卷】设椭
5、圆 (ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为 ，点 A 的坐标为 ，且 .（I）求椭圆的方程；（II）设直线 l： 与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若(O 为原点) ，求 k 的值.【答案】() ；() 或【解析】分析：（）由题意结合椭圆的性质可得 a=3， b=2则椭圆的方程为 （）设点 P 的坐标为（ x1， y1） ，点 Q 的坐标为（ x2， y2） 由题意可得 5y1=9y2由方程组 可得由方程组 可得 据此得到关于 k 的方程，解方程可得 k 的值为或详解：（）设椭圆的焦距为 2c，由已知知 ，又由 a2=b2+c2，可得 2a
6、=3b由已知可得， ，由 ，可得 ab=6，从而 a=3， b=2所以，椭圆的方程为 （）设点 P 的坐标为（ x1， y1） ，点 Q 的坐标为（ x2， y2） 由已知有 y1y20，故 又因为 ，而 OAB= ，故 由 ，可得 5y1=9y2由方程组 消去 x，可得 易知直线 AB 的方程为 x+y2=0，由方程组 消去 x，可得 由 5y1=9y2，可得 5（ k+1）= ，两边平方，整理得，解得 ，或 所以， k 的值为 或点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力
7、，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题45 【2018 年全国卷理】已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为（1）证明： ；（2）设 为 的右焦点， 为 上一点,且 证明： ， ， 成等差数列，并求该数列的公差【答案】 （1） （2） 或（2）由题意得 ，设 ，则 .由（1）及题设得 .又点 P 在 C 上，所以 ，从而 ，.于是 .同理 .所以.故 ，即 成等差数列.设该数列的公差为 d，则 .将 代入 得 .所以 l 的方程为 ，代入 C 的方程，并整理得 .故 ，代入 解得 .所以该数列的公差为 或 .点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的
8、性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得到 ,求出 m 得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思想，考察学生的计算能力，难度较大。2017 年高考全景展示1.【2017 浙江，2】椭圆2194xy的离心率是5A 13B 53C 23D 59【答案】 B【解析】试题分析： 9453e，选 B【考点】 椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 cba,的方程或不等式，再根据 cba,的关系消掉 b得到 ca,的关系式，建立关于 cba,的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等2.【2017 课标 3，
9、理 10】已知椭圆 C：21xyab，（ ab0）的左、右顶点分别为 A1， A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线 20bxay相切，则 C 的离心率为A 63B 3C 23D 13【答案】 A【解析】【考点】 椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：6求出 a， c，代入公式 e ca ；只需要根据一个条件得到关于 a， b， c 的齐次式，结合 b2 a2 c2转化为 a， c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得
10、e(e 的取值范围).3.【2017 天津，理 19】设椭圆210xyb的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率为 12.已知A是抛物线 2(0)yp的焦点， F到抛物线的准线 l的距离为 12.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设 l上两点 P， Q关于 x轴对称，直线 AP与椭圆相交于点 B（ 异于点 A） ，直线 BQ与 x轴相交于点 D.若 A 的面积为 62，求直线 的方程.【答案】 （1） 2413yx， 4x.（2） 360y，或 360xy.【解析】试题分析：由于 A为抛物线焦点， F到抛物线的准线 l的距离为 12，则 12ac，又椭圆的离心率为 12，求出 ,cab，得
11、出椭圆的标准方程和抛物线方程；则 (,0)A，设直线 P方程为设 (0)xmy，解出 PQ、 两点的坐标，把直线 P方程和椭圆方程联立解出 B点坐标，写出 Q 所在直线方程，求出点D的坐标，最后根据 AD 的面积为 62解方程求出 m，得出直线 的方程. 试题解析：（）解：设 F的坐标为 (,0)c.依题意， 12ca， p， 12ac，解得 a，12c， p，于是 2234ba.所以，椭圆的方程为243yx，抛物线的方程为 24yx.（）解：设直线 AP的方程为 1(0)xmy，与直线 l的方程 1联立，可得点 (1,)Pm，故(1,)Qm.将 1xy与23联立，消去 x，整理得 2(34)
12、60my，解得 y，或2634y.由点 B异于点 A，可得点2246(,)B.由 1,Q，可得直线 BQ的方程为22 4()(11)03mxy，令 y，解得23x，故23(,0)mD.所7以2236|1mAD.又因为 APD 的面积为 62，故2163|m，整理得236|0，解得 |3，所以 3m.所以，直线 AP的方程为 60xy，或 60xy.【考点】直线与椭圆综合问题【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想
13、，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键.4.【2017 江苏，17】 如图 ,在平面直角坐标系 xOy中,椭圆2:1(0)xyEab的左、右焦点分别为1F, 2,离心率为 1,两准线之间的距离为 8.点 P在椭圆 上，且位于第一象限，过点 1F作 直线 1P的垂线 l,过点 作直线 2PF的垂线 2l.（1）求椭圆 E的标准方程；（2）若直线 的交点 Q在椭圆 E上,求点 P的坐标.【答案】 （1）2143xy（2） 473(,)【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为 c. 因为椭圆 E 的离心率为 2，两准线之间的距离为 8，所以12ca，8， 解得 2,1ac，于
14、是23bac， 因此椭圆 E 的标准方程是214xy.8（2）由（1）知， 1(,0)F， 2(,).设 0(,)Pxy，因为点 P为第一象限的点，故 0,xy.当 时， 2l与 1相交于 1，与题设不符.当 0x时，直线 1F的斜率为0yx，直线 2PF的斜率为01yx.因为 1lP ， 2l ，所以直线 1l的斜率为0y，直线 2l的斜率为01xy，从而直线 1l的方程：0()xy， 直线 2l的方程：01(). 由，解得200,xxy，所以201(,)xQy.因为点 Q在椭圆上，由对称性，得20y，即201x或20xy.又 P在椭圆 E 上，故20143x.由20143xy，解得 007
15、,xy；20143xy，无解.因此点 P 的坐标为43(,).【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的坐标满足曲线方程.2016 年高考全景展示1.【2016 高考浙江理数】已知椭圆 C1：2xm+y2=1(m1)与双曲线 C2： xny2=1(n0)的焦点重合， e1， e29分别为 C1， C2的离心率，则（ ）A mn 且 e1e21 B mn 且 e1e21 D mn 且 e1e21【答案】A考点：1、椭圆的简单几何性质；2、
16、双曲线的简单几何性质【易错点睛】计算椭圆 1C的焦点时，要注意 22cab；计算双曲线 2C的焦点时，要注意 22cab否则很容易出现错误2.【2016 高考新课标 3 理数】已知 O为坐标原点， F是椭圆 ：21(0)xyab的左焦点，,AB分别为 C的左，右顶点. P为 C上一点，且 Px轴.过点 A的直线 l与线段 PF交于点 M，与 y轴交于点 E.若直线 M经过 OE的中点，则 的离心率为（ ）（A） 13（B） 12（C） 23（D） 34【答案】A【解析】试题分析：由题意设直线 l的方程为 ()ykxa，分别令 xc与 0得点 |()FMkac，|OEka，由 BECM:，得1|
17、2OEBFC，即 2()ka，整理，得 13，所以椭圆离心率为 13e，故选 A考点：椭圆方程与几何性质【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得 ,ac的值，进而求得 e的值；（2）建立 ,abc的齐次等式，求得 ba或转化为关于 e的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出 3.【2016 高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系 xOy中， F是椭圆21()xyab 0的右焦点，直10线 2by 与椭圆交于 ,BC两点，且 90F,则该椭圆的离心率是 .【答案】 63【解析】由题意得 3(,)C(,)22bbBaa，因此 22236()(03.3bcacae考点：椭圆离心
18、率【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出 ,c，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求 ,ac的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于 ,a的一个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值.4.【2016 高考天津理数】 （本小题满分 14 分）设椭圆 132yax（ 3a）的右焦点为 F，右顶点为 A，已知 |3|1|FAeO，其中 O 为原点， e为椭圆的离心率.（）求椭圆的方程；（）设过点 A的直线 l与椭圆交于点 B（ 不在 x轴上） ，垂直于 l的直线与 l交于点 M，与 y轴交于点H，若 FB，且 MOA，求直线的 l斜率的取值范围
19、.【答案】 （）2143xy（） ),46,(【解析】试题分析：（）求椭圆标准方程，只需确定量，由 13|cOFA，得 13()ca，再利用 223acb， 可解得 21c， 24a（）先化简条件： MO|AM， 即M 再 OA 中垂线上， Mx， 再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求 B；利用两直线方程组求 H，最后根据 HFB， 列等量关系解出直线斜率.取值范围11试题解析：（1）解：设 (,0)Fc，由 13|cOAF，即 13()ca，可得 223ac，又 223acb，所以 2，因此 24a，所以椭圆的方程为243xy.（2） （）解：设直线 l的斜率为 k（ 0） ，则直线 l的
20、方程为 )(k.设 ),(Byx，由方程组)(1342xky，消去 y，整理得 01261)34(22xk.解得 2，或 34682k，由题意得 3482kxB，从而 342kyB.由（）知， )0,1(F，设 ),(Hy，有 ),1(HF， )1,9(22kF.由 HFB，得HB，所以 0341292k，解得 ky4.因此直线 M的方程为kxy14.设 ),(M，由方程组 )2(1492xkyk消去 y，解得 )1(290kxM.在 AO中，|OAOA，即 22M，化简得 x，即 1)(290k，解得 46k或 k.所以，直线 l的斜率的取值范围为 ),46,(.考点：椭圆的标准方程和几何性
21、质，直线方程【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；12(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围5.【2016 高考浙江理数】 （本题满分 15 分）如图，设椭圆21xya（ a1）.（ I） 求 直 线 y=kx+1 被 椭 圆 截 得 的 线 段 长 （ 用 a、 k 表 示 ） ；（ II） 若 任 意 以 点
22、 A（ 0,1） 为 圆 心 的 圆 与 椭 圆 至 多 有 3 个 公 共 点 ， 求 椭 圆 离 心 率 的 取 值范 围 .【答案】 （I）221ak；（II） 20e【解析】试题分析：（I）先联立 1ykx和21ya，可得 1x， 2，再利用弦长公式可得直线 1ykx被椭圆截得的线段长；（II）先假设圆与椭圆的公共点有 4个，再利用对称性及已知条件可得任意以点0,1A为圆心的圆与椭圆至多有 3个公共点时， 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围试题解析：（I）设直线 1ykx被椭圆截得的线段为 A，由 21ykxa得2210akx，故 10x，221ak因此 22 211akkxA（
23、II）假设圆与椭圆的公共点有 4个，由对称性可设 y轴左侧的椭圆上有两个不同的点 ， Q，满足13QA记直线 ， 的斜率分别为 1k， 2，且 1k， 20， 12k由（I）知， 221akA，22Q1akA，故 222121akak，所以 22221 10ak由于 2k， 1， 20k得11a，因此 2221ak， 因为式关于 1， 2k的方程有解的充要条件是2a，所以 a因此，任意以点 0,A为圆心的圆与椭圆至多有 3个公共点的充要条件为12，由 1cae得，所求离心率的取值范围为 20e考点：1、弦长；2、圆与椭圆的位置关系；3、椭圆的离心率【思路点睛】 （I）先联立 1ykx和21ya
24、，可得交点的横坐标，再利用弦长公式可得直线1ykx被椭圆截得的线段长；（II）利用对称性及已知条件可得任意以点 0,1A为圆心的圆与椭圆至多有 3个公共点时， a的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围6. 【2016 高考新课标 2 理数】已知椭圆 :E213xyt的焦点在 x轴上， 是 E的左顶点，斜率为14(0)k的直线交 E于 ,AM两点，点 N在 E上， MAN（）当 4,|t时，求 的面积；（）当 2时，求 k的取值范围【答案】 （） 149；（） 32,.试题解析：（I）设 1,Mxy，则由题意知 10y，当 4t时， E的方程为2143xy， 2,0A.由已知及椭圆的对称性知，
25、直线 A的倾斜角为 .因此直线 AM的方程为 .将 2xy代入2143xy得 270y.解得 或 127y，所以 127y.因此 AMN的面积 49.（II）由题意 3t， 0k， ,At.将直线 A的方程 ()yxt代入213xyt得 2230tkxtkt.由 213tkx得 21tk，故2216tAMtk.由题设，直线 AN的方程为 yxtk，故同理可得213tN，由 2M得 23tt，即 32tk.当 3k时上式不成立，15因此 321kt.t等价于 232310kk，即 30k.由此得 320k，或 302k，解得 .因此 的取值范围是 ,.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【名师点睛】由直线(系)和圆锥曲线(系) 的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数( 系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解
