1、1专题 17 椭圆 文考纲解读明方向考纲解读考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.椭圆的定义及其标准方程 掌握选择题解答题2.椭圆的几何性质 掌握填空题解答题3.直线与椭圆的位置关系掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质掌握 解答题 分析解读 1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程.2.能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率)解决相关问题.3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主,与向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强,分值约为 12分,难度
2、较大.2018 年高考全景展示1 【2018 年全国卷 II 文】已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且 ，则 的离心率为A. B. C. D. 2【答案】D【解析】分析：设 ，则根据平面几何知识可求 ，再结合椭圆定义可求离心率.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.2 【2018 年浙江卷】已知点 P(0，1)，椭圆 +y2=m(m1)上两点 A， B 满足 =2 ，
3、则当 m=_时，点 B 横坐标的绝对值最大【答案】5【解析】分析:先根据条件得到 A,B 坐标间的关系，代入椭圆方程解得 B 的纵坐标，即得 B 的横坐标关于m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.3 【2018 年天津卷文】设椭圆 的右顶点为 A，上顶点为 B.已知椭圆的离心率为 ，.（I）求椭圆的方程；（II）设直线 与椭圆交于 两点， 与直线 交于点 M，且点
4、P， M 均 在第四象限.若的面积是 面积的 2 倍，求 k 的值.【答案】() ；() .【解析】分析：（I）由题意结合几何关系可求得 .则椭圆的方程为 .3（II）设点 P 的坐标为 ，点 M 的坐标为 ，由题意可得 .易知直线 的方程为 ，由方程组 可得 .由方程组 可得.结合 ，可得 ，或 .经检验 的值为 .详解：（I）设椭圆的焦距为 2c，由已知得 ，又由 ，可得 由,从而 所以，椭圆的方程为 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦
5、长、斜率、三角形的面积等问题4 【2018 年文北京卷】已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 .斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A， B.（）求椭圆 M 的方程； （）若 ，求 的最大值；（）设 ，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D.若 C,D 和点共线，求 k.【答案】 （） （ ） （）【解析】分析：（1）根据题干可得 的方程组，求解 的值，代入可得椭圆方程；（2）设直线方程4为 ，联立，消 整理得 ，利用根与系数关系及弦长公式表示出 ，求其最值；（3）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合 三点共线，利用共线
6、向量基本定理得出等量关系，可求斜率 .详解：（）由题意得 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，所以椭圆的标准方程为 （）设直线 的方程为 ，由 消去 可得 ，则，即 ，设 ， ，则 ，则 ，易得当 时，故 的最大值为 点睛：本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到 三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式 变形为，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.2017 年高考全景展示1.【2017 浙江，2】椭圆2194xy的离心率是5A 13B 53C 2
7、3D 59【答案】 B【解析】试题分析： 9453e，选 B【考点】 椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 cba,的方程或不等式，再根据 cba,的关系消掉 b得到 ca,的关系式，建立关于 cba,的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等2.【2017 课标 1，文 12】设 A、 B 是椭圆 C：213xym长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足 AMB=120，则 m 的取值范围是A (0,9)B (0,9,)C 14D 34【答案】 A【解析】【考点】椭圆【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆的知识为背
8、景的求参数范围的问题解答问题的关键是利用条件确定 ba,的关系，求解时充分借助题设条件 120AMB转化为360tanb，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论63.【2017 课标 3，文 11】已知椭圆 C：21xyab， （ ab0）的左、右顶点分别为 A1， A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 0bxay相切，则 C 的离心率为（ ）A 63 B 3 C 23D 13【答案】A【解析】以线段 12A为直径的圆是22xya，直线 20bxay与圆相切，所以圆心到直线的距离 2abd，整理为 23ab，即 2223cc，即23a，63cea，故
9、选 A. 【考点】椭圆离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 ,abc的方程或不等式，再根据 ,abc的关系消掉 b得到 ,ac的关系式，而建立关于 ,abc的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.4.【2017 课标 II，文 20】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为N，点 P 满足 2NM(1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q在直线 3x上，且 1PQ.证明过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）转
10、移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程， （2）证明直线过定点问题，一般方法以算代证：即证，先设 P（m，n） ，则需证 30mtn，根据条件 1OPQ可得 2231mtn，而 ，代入即得 t.7（2）由题意知 F（-1,0） ，设 Q（-3，t） ，P（m，n） ，则，.由 得 2231mtn，又由（1）知 ，故30tn.所以 ，即 .又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C的左焦点 F【考点】求轨迹方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取
11、特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.5.【2017 北京，文 19】已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(2,0)，B(2,0)，焦点在 x 轴上，离心率为32（）求椭圆 C 的方程；（）点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M， N，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点E.求证： BDE 与 BDN 的面积之比为 4:5【答案】（）214y；（）详见
12、解析.【解析】试题分析：（）根据条件可知 32,ca，以及 22bac ，求得椭圆方程；（）设 (,)Mmn，则 (,0),)DmNn，根据条件求直线 DE的方程，并且表示直线 BN的方程，并求两条直线的交点，8根据12EBDENNyS，根据坐标表示面积比值.（）设 (,)Mmn，则 (,0),)DNmn.由题设知 2，且 .直线 A的斜率 Ak，故直线 E的斜率 2DEmkn.所以直线 E的方程为 2()yxn.【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用 ,abce的关系，确定椭圆方程是
13、基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，9一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再根据面积的几何关系，从而求解面积比值，计算结果，本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.6.【2017 江苏，17】 如图 ,在平面直角坐标系 xOy中,椭圆2:1(0)xyEab的左、右焦点分别为1F, 2,离心率为 1,两准线之间的距离为 8.点 P在椭圆 上，且位于第一象限，过点 1F作 直线 1P的垂线 l,过点 作直线 2PF的垂线 2l.（1）求椭圆 E的标准方程；（2）若直线 的交点 Q
14、在椭圆 E上,求点 P的坐标.【答案】 （1）2143xy（2） 473(,)【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为 c. 因为椭圆 E 的离心率为 2，两准线之间的距离为 8，所以12ca，8， 解得 2,1ac，于是23bac， 因此椭圆 E 的标准方程是14xy. 10由，解得2001,xxy，所以201(,)xQy.因为点 Q在椭圆上，由对称性，得20y，即201x或20xy.又 P在椭圆 E 上，故20143x.由20143xy，解得 007,xy；20143xy，无解.因此点 P 的坐标为43(,).【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线和圆锥 曲线的位置关系，一般转化为
15、直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的坐标满足曲线方程.2016 年高考全景展示1.【2016 高考新课标 1 文数】直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ,则该椭圆的离心率为（ ）1411（A） （B） （C） （D）13 12 23 34【答案】B考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于 a,c 的齐次方程,方程两边同时除以 a 的最高次幂,转化为关于 e 的方程,解方程求 e .2.2016 高
16、考新课标文数已知 O为坐标原点， F是椭圆 C：21(0)xyab的左焦点， ,AB分别为 C的左，右顶点. P为 C上一点，且 Px轴.过点 A的直线 l与线段 PF交于点 M，与 y轴交于点 E.若直线 BM经过 E的中点，则 的离心率为（ ）（A） 13（B） 12（C） 3（D） 4【答案】A【解析】考点：椭圆方程与几何性质【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得 ,ac的值，进而求得 e的值；（2）建立 ,abc的齐次等式，求得 ba或转化为关于 e的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出 3.【2016 高考新课标 2 文数】已知 A是椭圆 E：2143x
17、y的左顶点，斜率为 0k 的直线交 E与 A，M两点，点 N在 E上， MN.（）当 A时，求 的面积；（）当 时，证明： 32k.【答案】 （） 149；（） ,.【解析】试题分析：（）先求直线 AM的方程，再求点 的纵坐标，最后求 AMN的面积；（）设121,Mxy， ，将直线 A的方程与椭圆方程组成方程组，消去 y，用 k表示 1x，从而表示 |AM，同理用 k表示 |N，再由 2MN求 k. 试题解析：（）设 1(,)xy，则由题意知 10y.由已知及椭圆的对称性知，直线 A的倾斜角为 4，又 (2,0)A，因此直线 的方程为 2yx.将 xy代入2143xy得 270，解得 0或 ，
18、所以 1.因此 AMN的面积 21479AMNS.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【名师点睛】本题中 23ktt，分离变量 t，得321k，解不等式，即求得实数 k的取值范围.4.【2016 高考北京文数】 （本小题 14分）13已知椭圆 C：21xyab过点 A（2,0） ，B（0,1）两点.（I）求椭圆 C 的方程及离心率；（）设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值.【答案】 （）214xy； 32e（）见解析.【解析】试题分析：（）根据两顶点坐标可知 a,b 的值，则亦知
19、椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（）四边形 A的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线 ,A的值求乘积为定值即可.试题解析：（I）由题意得， 2a， 1b所以椭圆 C的方程为24xy又 23cab，所以离心率 ce 令 0y，得 01xy，从而 021xyA所以四边形 A的面积1412SA002xyy20004482xy00y2从而四边形 A的面积为定值考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力.【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
