1、1专题 16 直线与圆考纲解读明方向考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.直线的倾斜角、斜率和方程掌握 选择题填空题 2.点与直线、直线与直线的位置关系在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素;理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式;能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直;掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系;能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标;掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离掌握 选择题填空题 分析解读 1.理解直线的倾斜角与斜率的关
2、系,会求直线的倾斜角与斜率.2.掌握求直线方程的三种方法:直接法、待定系数法、轨迹法.3.能根据两条直线平行、垂直的条件判定两直线是否平行或垂直.4.熟记两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式,根据相关条件,会求三种距离.5.理解方程和函数的思想方法.6.高考中常结合直线的斜率与方程,考查与其他曲线的综合应用,分值约为 5 分,属中档题.考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度圆的方程 掌握确定圆的几何要素;掌握圆的标准方程与一般方程 掌握 填空题解答题 分析解读 1.了解参数方程的概念,理解圆的参数方程.2.能根据所给条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程,
3、结合圆的几何性质解决与圆有关的问题.3.高考对本节内容的考查以圆的方程为主,分值约为 5 分,中等难度,备考时应掌握“几何法”和“代数法”,求圆的方程的方法及与圆有关的最值问题.考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.直线与圆的位置关系 掌握选择题填空题 2.圆与圆的位置关系能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;初步了解用代数方法处理几何问题的思想掌握 填空题解答题 分析解读 1.能够根据给定直线和圆的方程,选用代数或几何方法,判断直线和圆、圆与圆的位置关系.2.会根据圆的切线方程、公共弦方程及弦长等
4、有关知识解决有关直线与圆的问题.3.灵活运用数形结合的方法.4.本节在高考中以位置关系、弦长问题为主,分值约为 5 分,属中档题.22018 年高考全景展示1 【2018 年理北京卷】在平面直角坐标系中，记 d 为点 P（cos，sin）到直线 的距离，当 ，m 变化时，d 的最大值为A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化2 【2018 年全国卷理】直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是A.
5、B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先求出 A，B 两点坐标得到 再计算圆心到直线距离，得到点 P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点， ,则 ， 点 P 在圆上， 圆心为（ 2，0） ，则圆心到直线距离 ，故点 P 到直线的距离 的范围为 ，则 ，故答案选 A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。3 【2018 年理数天津卷】已知圆 的圆心为 C，直线 ( 为参数)与该圆相交于A， B 两点，则 的面积为_.【答案】【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解
6、三角形的面积即可.3详解：由题意可得圆的标准方程为： ，直线的直角坐标方程为： ，即，则圆心到直线的距离： ，由弦长公式可得： ，则 .点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法4 【2018 年江苏卷】在平面直角坐标系 中， A 为直线 上在第一象限内的点， ，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若 ，则点 A 的横坐标为_【答案】3点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或
7、解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.5 【2018 年理数全国卷 II】设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点， （1）求 的方程；（2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程【答案】(1) y=x1,(2) 或 【解析】分析：(1)根据抛物线定义得 ，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线 的方程；（2）先求 AB 中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.4（2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2） ，所以 AB 的垂直平分线方程为 ，即 设所求圆
8、的圆心坐标为（ x0， y0） ，则 解得 或因此所求圆的方程为 或 点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法：若已知条件与圆心 和半径 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于 的方程组，从而求出 的值； 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D、 E、 F 的方程组，进而求出 D、 E、 F 的值2017 年高考全景展示1.【2017 江苏，13】在平面直角坐标系 xOy中, (12,0)(,6AB点 P在圆 250Oxy：上,若20,PAB则点 P的横坐标的取值范围是 【答案】 51
9、 【考点】直线与圆，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.52.【2017 课标 3，理 20】已知抛物线 C： y2=2x，过点（2,0）的直线 l 交 C 与 A,B 两点，圆 M 是以线段 AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（2）设圆 M 过点 4,2P，求直线 l 与圆 M 的方程.【答案】(1)证明略；(2)直线 l 的方程为 0xy ，圆 的方
10、程为 22310xy .或直线 l 的方程为 24 ，圆 的方程为 98546 .【解析】试题分析：(1)设出点的坐标，联立直线与圆的方程，由斜率之积为 1 可得 OAB，即得结论；(2)结合(1)的结论求得实数 m 的值，分类讨论即可求得直线 l 的方程和圆 M 的方程.试题解析：(1)设 12,AxyB ， :2lxmy .由 2,xy 可得 240 ，则 124 .又21,x，故 2112yx.因此 OA 的斜率与 B 的斜率之积为 1241x ，所以 OAB .故坐标原点 在圆 M 上.(2)由(1)可得 2121212, 4ymym .故圆心 的坐标为 , ，圆 的半径 2r .由于
11、圆 过点 4,P ，因此 0APB，故 121240xy ，即 1212112xxyy .由(1)可得 , . 所以 20m ，解得 m 或 2 .当 1 时，直线 l 的方程为 0xy ，圆心 M 的坐标为 3,1 ，圆 M 的半径为 10 ，圆 M 6的方程为 22310xy .当 1m 时，直线 l 的方程为 40xy ，圆心 M 的坐标为 91,42 ，圆 M 的半径为 854 ，圆 M 的方程为22918546x.【考点】 直线与抛物线的位置关系；圆的方程【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要
12、特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法” ，但不要忘记验证 0 或说明中点在曲线内部.3.【2017 课标 1，理 20】已知椭圆 C：2=1xyab（ ab0） ，四点 P1（1,1） ， P2（0,1） ， P3（1， 2） ，P4（1， 32）中恰有三点在椭圆 C 上.（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A， B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明： l过定点.【解析】试题分析：（1）根据 3P， 4两点关于 y 轴对称，由椭圆的对称性可知 C 经过 3P， 4两点.另外224ab知， C 不经
13、过点 P1，所以点 P2在 C 上.因此 134,在椭圆上，代入其标准方程，即可求出 C 的方程；（2）先设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1， k2，在设直线 l 的方程，当 l 与 x 轴垂直，通过计算，不满足题意，再设设 l： ykxm（ ） ，将 yxm代入214y，写出判别式，韦达定理，表示出 12k，根据 12列出等式表示出 k和 的关系，判断出直线恒过定点.（2）设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1， k2，7如果 l 与 x 轴垂直，设 l： x=t，由题设知 0t，且 |2t，可得 A， B 的坐标分别为（ t，24t） ， （ t，24t）.则2
14、21241ttk，得 2t，不符合题设.从而可设 l： ykxm（ ）.将 ykxm代入214y得22(41)840k由题设可知 =6(1)k.设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，则 x1+x2= 841km， x1x2= 4k.而 212k1xmkx212().由题设 12k，故 1212()()0kxmx.即 48() 04m.解得 2k.当且仅当 1时， 0，欲使 l： 12myx，即 1(2)myx，所以 l 过定点（2， ）【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证
15、明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简.2016 年高考全景展示1.【2016 高考新课标 2 理数】圆 28130xy的圆心到直线 10axy的距离为 1，则8a=（ ）（A） 43 （B） 34 （C） 3 （D）2【答案】A【解析】试题分析：圆的方程可化为 22(x1)(y4)，所以圆心坐标为 (1,4)，由点到直线的距离公式得：241ad，解得 3a，故选 A考点： 圆的方程、点到直线
16、的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离 d 与半径长 r 的大小关系来判断若 dr，则直线与圆相离；若 d r，则直线与圆相切；若 d0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法2.【2016 高考新课标 3 理数】已知直线 l： 30mxy与圆 21xy交于 ,AB两点，过,AB分别做 l的垂线与 x轴交于 ,CD两点，若 2AB，则 |CD_.【答案】4考点：直线与圆的位置关系93.【2016 高考上海理数】已知平行直线 012:,012:1 yxlyxl ，则 21,l的
17、距离_.【答案】 25【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得 122|c|1|5dab.考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即 ,xy的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.4.【2016 高考江苏卷】 （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知以 M为圆心的圆2:1460xyy及其上一点(2,4)A（1）设圆 N与 轴相切，与圆 外切，且圆心 N在直线 6上，求圆 N的标准方程；（2）设平行于 A的直线 l与圆 相交于 ,BC两点，且 OA,求直线 l的方程；（3）设点 (,0)Tt满足：存在圆 M
18、上的两点 P和 Q,使得 TPQ,求实数 t的取值范围。【答案】 （1） 22(6)(1)xy（2） :521lyxyx或 （3） 2121t【解析】试题分析：（1）求圆的标准方程，关键是确定圆心与半径：根据直线与 x 轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径（2）本题实质已知弦长求直线方程，因此应根据垂径定理确定等量关系，求直线方程（3）利用向量加法几何意义建立等量关系 ATPQ，根据圆中弦长 PQ范围建立不等式1052PQ，解对应参数取值范围试题解析：解：圆 M 的标准方程为 22675xy，所以圆心 M(6，7)，半径为 5,.（1）由圆心在直线 x=6 上，可设 0,N.因
19、为 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，所以 07y，于是圆 N 的半径为 y，从而 00y，解得 01y.因此，圆 N 的标准方程为 2261x.(2)因为直线 l|OA，所以直线 l 的斜率为 40.设直线 l 的方程为 y=2x+m，即 2x-y+m=0，则圆心 M 到直线 l 的距离2675.5md因为 24,BCOA 而 2,Md 所以 25m，解得 m=5 或 m=-15.故直线 l 的方程为 2x-y+5=0 或 2x-y-15=0.于是点 1,Pxy既在圆 M 上，又在圆 22435xty上，从而圆 22675与圆 有公共点，所以 25435,t 解得 2121t.因此，实数 t 的取值范围是 1.11考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以 P为主元，揭示 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆位置关系.
