1、1专题 16 直线与圆 文考纲解读明方向考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.直线 的倾斜角、斜率和方程掌握选择题填空题2.点与直线、直线与直线的位置关系在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素;理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式;能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直;掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系;能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标;掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离掌握选择题填空题分析解读 1.理解直线的倾斜角与斜率的关系
2、,会求直线的倾斜角与斜率.2.掌 握求直线方程的三种方法:直接法、待定系数法、轨迹法.3.能根据两条直线平行、垂直的条件判定两直线是否平行或垂直.4.熟记两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式,根据相关条件,会求三种距离.5.理解方程和函数的思想方法.6.高考中常结合直线的斜率与方程,考查与其他曲线的综合应用,分值约为 5 分,属2中档题. 考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度圆的方程掌握确定圆的几何要素;掌握圆的标准方程与一般方程掌握填空题解答题分析解读 1.了解参数方程的概念,理解圆的参数方程.2.能根据所给条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程,结合
3、圆的几何性质解决与圆有关的问题.3.高考对本节内容的考查以圆的方程为主,分值约为 5 分,中等难度,备考时应掌握“几何法”和“代数法”,求圆的方程的方法及与圆有关的最值问题.考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.直线与圆的位置关系掌握选择题填空题2.圆与圆的位置关系能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;初步了解用代数方法处理几何问题的思想掌握填空题解答题分析解读 1.能够根据给定直线和圆的方程,选用代数或几何方法,判断直线和圆、圆与圆的位置关系.2.会根据圆的切线方程、公共弦方程及弦长等有关知识解决
4、有关直线与圆的问题.3.灵活运用数形结合的方法.4.本节在高考中以位置关系、弦长问题为主,分值约为 5 分,属中档题.2018 年高考全景展示1 【2018 年全国卷文】直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先求出 A，B 两点坐标得到 再计算圆心到直线距离，得到点 P 到直线距离范围，由面积公式计算即可3点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。2 【2018 年天津卷文】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0） ， （1，1） ， （2，0）的圆的方程为_【答案】【解析
5、】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理如：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆心三点共线(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式3 【2018 年新课标 I 卷文】直线 与圆 交于 两点，则 _【答案】【解析】分析：首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距
6、离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.详解：根据题意，圆的方程可化为 ，所以圆的圆心为 ，且半径是 2，根据点到直线的距离公式可以求得 ，结合圆中的特殊三角形，可知 ，故答案为.点睛：该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果42017 年高考全景展示1.【2017 江苏，13】在平面直角坐标系 xOy中, (12,0)(,6AB点 P在圆 250Oxy或上,若20,PAB则点 的横坐标的取值范围是 .【答案】 5,1 【解析】设 (,
7、)Pxy，由 20APB，易得 50xy，由 250xy，可得 5:xAy或1:7B，由 25得 P 点在圆左边弧 AB上,结合限制条件 2x ，可得点 P 横坐标的取值范围为 ,1.【考点】直线与圆，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.2 【2017 课标 3，文 20】在直角坐标系 xOy 中，曲线 2yxm与 x 轴交于 A， B 两点，点 C 的坐标为 (0,1).当
8、 m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现 AC BC 的情况？说明理由；（2）证明过 A， B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.【答案】 （1）不会；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）设 12,0,xB，由 AC BC 得 120x；由韦达定理得 12x，矛盾，所以不存在（2）可设圆方程为 ymxE,因为过 (,)，所以 E ，令 0 得0yy或，即弦长为 3.5（2）解法 1：过 A， B， C 三点的圆的圆心必在线段 AB 垂直平分线上，设圆心 0,Exy，则20xm，由 E得22211100+1xxy，化简得120y，所以圆 E 的方程为2222mm，令 x得 12,y
9、，所以过 A， B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为 13，所以所以过 A， B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值解法 2：设过 A， B， C 三点的圆与 y 轴的另一个交点为 D，由 1x可知原点 O 在圆内，由相交弦定理可得 12OABx，又 ，所以 2D，所以过 A， B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为 3C，为定值.【考点】圆一般方程，圆弦长【名师点睛】：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： 2221211|()4ABkxkxx (2)圆的
10、切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题2016 年高考全景展示1.【2016 高考山东文数】已知圆 M： 20()xya+-=截直线 0xy+=所得线段的长度是 2，则圆 M 与圆 N： 22(1)xy+-=（ -） 的位置关系是（ ）（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离【答案】B6【解析】考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基
11、本计算能力等.2.【2016 高考北京文数】圆 2(1)xy的圆心到直线 3yx的距离为（ ）A.1 B.2 C. D.2【答案】C【解析】试题分析：圆心坐标为 (1,0)，由点到直线的距离公式可知 |103|2d，故选 C. 考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点 ),(0yx到直线 bkx(即 0bkxy)的距离公式 201|kbxyd记忆容易，对于知 d求 k， b很方便.3、 【2016 高考上海文科】已知平行直线 02:,012:1 yxlyxl ，则 21,l的距离_.【答案】 25考点：两平行线间距离公式.7【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即 ,xy的系
12、数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.4.【2016 高考四川文科】在平面直角坐标系中，当 P(x， y)不是原点时，定义 P 的“伴随点”为22(,)yxPx；当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题： 若点 A 的“伴随点”是点 ，则点 的“伴随点”是点 A. 单元圆上的“伴随点”还在单位圆上. 若两点关于 x 轴对称，则他们的“伴随点”关于 y 轴对称若三点在同一条 直线上，则他们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是 .【答案】【解析】考点：1.新定义问题；2.曲线与方程.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向它考查学生的阅
13、读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决5.2016 高考新课标文数已知直线 l： 360xy与圆 21xy交于 ,AB两点，过 ,分别8作 l的垂线与 x轴交于 ,CD两点，则 |_.【答案】4【解析】试题分析：由 360xy，得 36xy，代入圆的方程，并整理，得 2360y，解得12,y，所以 12,，所以 2112|()()ABxy又直线 l的倾斜角为 30，由平
14、面几何知识知在梯形 DC中， | 4cos30 考点：直线与圆的位置关系【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决6.【2016 高考浙江文数】已知 aR，方程 22()4850xayxa表示圆，则圆心坐标是_，半径是_.【答案】 (2,4)；5【解析】试题分析：由题意 2a， 12或， a时方程为 24850xy，即2()(4)5xy，圆心为 (,4)，半径为 5， 时方程为
15、21xy，21不表示圆考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程 22()4850axyxa表示圆可得 a的方程，解得 a的值，一定要注意检验 a的值是否符合题意，否则很容易出现错误7.【2016 高考天津文数】已知 圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 (0,5)M在圆 C 上，且圆心到直线20xy的距离为 45，则圆 C 的方程为_.【答案】 2()9.xy【解析】9考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于 a， b， r 的方程组求解若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选
16、择圆的一般方程，列出关于 D， E， F 的方程组求解(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程8. 【2016 高考新课标 1 文数 】设直线 y=x+2a 与圆 C： x2+y2-2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若 ,则圆C 的面积为 .【答案】 4【解 析】试题分析：由题意直线即为 20xya,圆的标准方程为 22xya,所以圆心到直线的 距离 d,所以 2AB3,故 224ar,所以 24Sr故填 考点：直线与圆【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的 几何性质,如圆的半径 r、弦长 l、圆心到弦的距离 d 之间的关系：22lrd在求圆的方程时常常用到.9.【2016 高考新课标 2 文数】圆 x2+y22x8y+13=0 的圆心到直线 ax+y1=0 的距离为 1，则 a=（ ）（A） 43（B） 34（C） 3 （D）2【答案】A【解析】10考点： 圆的方程，点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围
