1、1专题 15 不等式性质，线性规划与基本不等式 考纲解读明方向考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度不等式的概念和性质了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景 理解2017 山东,7;2016 北京,5;2013 陕西,10选择题 分析解读 1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为 5 分,属中低档题.考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.平面区域问题会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;了解二元
2、一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组理解2016 浙江,3;2016 山东,4;2015 课标,15;2014 课标,9选择题填空题 2.线性规划问题会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决 理解2017 课标全国,5;2017 课标全国,14;2017 课标全国,13;2016 课标全国,13选择题填空题 分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查与平面区域有关的范围、距离等问题以及线
3、性规划问题,分值约为 5 分,属中低档题.考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度利用基本不等式求最值了解基本不等式的证明过程;会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题掌握2017 天津,12;2017 江苏,10;2015 陕西,9选择题填空题 分析解读 1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为 5 分.考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度不等式的综合应用能够灵活运用
4、不等式的性质求定义域、值域;能够应用基本不等式求最值;熟练掌握运用不等式解决应用题的方法掌握2017 天津,8;2014 福建,13;2013 课标全国,11选择题填空题解答题分析解读 不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.2018 年高考全景展示21 【2018 年理数天津卷】设变量 x， y 满足约束条件 则目标函数 的最大值为A. 6 B. 19 C. 21 D. 45【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.点睛：求线性目标函数 z ax by(ab0)的最值，
5、当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时， z值最大，在 y 轴截距最小时， z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时， z 值最小，在y 轴上截距最小时， z 值最大.2 【2018 年理新课标 I 卷】已知集合 ，则A. B. C. D. 【答案】B3点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.3 【2018 年全国卷理】设 ， ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：求出 ，得到 的范围，进而可得结果。详解：. ， ，,即 ，又 ， 即
6、 ，故选 B.点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题。4 【2018 年浙江卷】若 满足约束条件 则 的最小值是_，最大值是_【答案】 -2 8【解析】分析:先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线 过点 A(2,2)时 取最大值 8，过点 B(4,-2)时 取最小值-2. 4点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.5 【
7、2018 年理数天津卷】已知 ，且 ，则 的最小值为_.【答案】【解析】分析：由题意首先求得 a-3b 的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.详解：由 可知 ，且： ，因为对于任意 x， 恒成立，结合均值不等式的结论可得： .当且仅当 ，即时等号成立.综上可得 的最小值为 .点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得” ，若忽略了某个条件，就会出现错误6 【2018 年理北京卷】若, y 满足 ，则 2y 的最小值是_.【答案】3【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，
8、分析目标函数 的几何意义，可知当时取得最小值.详解：不等式可转化为 ，即 ， 满足条件的 在平面直角坐标系中的可行域如下图令 ，由图象可知，当 过点 时， 取最小值，此时 ，5的最小值为 .点睛：此题考查线性规划，求线性目标函数 的最值，当 时，直线过可行域在 轴上截距最大时， 值最大，在 轴上截距最小时， 值最小；当 时，直线过可行域在 轴上截距最大时，值最小，在 轴上截距最小时， 值最大.7 【2018 年江苏卷】在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交 于点D，且 ，则 的最小值为_【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知， ,由
9、角平分线性质和三角形面积公式得，化简得 ，因此当且仅当 时取等号，则 的最小值为 .点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8 【2018 年理新课标 I 卷】若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_【答案】6【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式 ，之后在图中画出直线 ，在上下移动的过程中，结合 的几何意义，可以发现直线 过 B点时取得最大值，联立方程组，求得点 B 的坐标代入
10、目标函数解析式，求得最大值.详解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：6由 可得 ，画出直线 ，将其上下移动，结合 的几何意义，可知当直线过点 B时，z 取得最大值，由 ，解得 ，此时 ，故答案为 6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断 z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.9 【2018 年理数全国卷 II】若 满足约束条件 则
11、 的最大值为_【答案】9【解析】分析：作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当 时， .详解：不等式组表示的可行域是以 为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当 时， .点睛：线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.2017 年高考全景展示71.【2017 课标 II，理 5】设 x， y满足约束条件230xy，则 2zxy的最小值是（ ）A 15 B 9 C 1 D 9【答案】A【解析】试题分析：绘制不等式组表示的可行域，目标函数即： 2yxz，其中 表示斜率为
12、2k的直线系与可行域有交点时直线的截距值，数形结合可得目标函数在点 6,3B 处取得最小值 135z ，故选 A。【考点】 应用线性规划求最值【名师点睛】求线性目标函数 z ax by(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时， z 值最大，在 y 轴截距最小时， z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时， z 值最小，在 y 轴上截距最小时， z 值最大 。2.【2017 天津，理 2】设变量 ,xy满足约束条件2,0,3xy则目标函数 zxy的最大值为（A） 23 （B）1（C） 32 （D）3【答案】 【解析】目标函数为四边形 ABCD 及
13、其内部，其中 324(0,1),(,)(,)ABCD，所以直线zxy过点 B 时取最大值 3，选 D.8【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题.3.【2017 山东，理 4】已知 x,y 满足xy30+5，则 z=x+2y 的最大值是（A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6【答案】C【解析】试题分析：由xy30+5画出可行域及直线 20xy如图所示，平移 20xy发现，当其经
14、过直线 3x+y50与 x-3的交点 (,4)时， 2zxy最大为 3245z，选 C.【考点】 简单的线性规划【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值4.【2017 山东，理 7】若 0ab，且 1a，则下列不等式成立的是9（A） 21logab （B） 21logabab（C） 2lab （D） 2l a【答案】B【考点】1.指数函数与对数函数的性质.2.基
15、本不等式.【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.5.【2017 课标 3，理 9】等差数列 na的首项为 1，公差不为 0若 a2， a3， a6成等比数列，则 na前 6项的和为A 24 B C3 D8【答案】 A【考点】 等差数列求和公式；等差数列基本量的计算【名师点睛】(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1， an， d， n， Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程
16、的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.6.【2017 北京，理 4】若 x， y 满足32x， ，则 x + 2y 的最大值为10（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，2zxy表示斜率为 12的一组平行线，当过点 3,C时，目标函数取得最大值 max329z，故选 D.【考点】线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关
17、键是准确作出可行域，理解目标函数的意义常见的目标函数有：（1）截距型：形如 zaxby.求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式： azyxb，通过求直线的截距 z的最值间接求出 z的最值；（2）距离型：形如 22zxa ；（3）斜率型：形如 xa，而本题属于截距形式.7.【2017 浙江，4】若 ， y满足约束条件032xy，则 yz2的取值范围是A0，6 B0，4 C6， ) D4， )【答案】 D【解析】11试题分析：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点 (2,1)时取最小值 4，无最大值，选 D【考点】 简单线性规划【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组
18、作出相应的可行域，作图时，可将不等式 0CByAx转化为 bkxy（或 bkxy） ， “”取下方， “”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围8.【2017 天津，理 8】已知函数23,1().xf设 aR，若关于 x 的不等式 ()|2xfa在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（A） 47,216（B） 4739,16（C） 23,（D） 392,16【答案】【解析】不等式 ()2xfa为 ()()2xfaf(*)，
19、当 1x时，(*)式即为 33， 223xax，又 221473()6x（ 14x时取等号） ，9x（ 时取等号） ，所以 4716a，当 x时，(*)式为 22xa， 32xa，xoy2xy02yx03y12又 32()23xx（当 23x时取等号） ，（当 时取等号） ，所以 23a，综上 4716故选 A【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足 ()2xfa转化为 ()()22xxfaf去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据 的范围，利用极端原理，求出对应的 a的范围.9.【2017 课标 3，理 13】若 x， y满足约束
20、条件y02x，则 z34xy的最小值为_.【答案】 1 【解析】试题分析：绘制不等式组表示的可行域，目标函数即： 314yxz，其中 表示斜率为 34k的直线系与可行域有交点时直线的截距值的 14 倍，截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点 1,A 处取得最小值 31zxy.13【考点】应用线性规划求最值【名师点睛】求线性目标函数 z ax by(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时， z 值最大，在 y 轴截距最小时， z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时， z 值最小，在 y 轴上截距最小时， z 值最大.10.【
21、2017 天津，理 12】若 ,abR， ，则41ab的最小值为_.【答案】 4 【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式， （1） 2,abRab ，当且仅当ab时取等号；（2） ,abR ， 2ba ，当且仅当 时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等” “作乘法” “1 的妙用”求最值.11.【2017 课标 1，理 13】设 x， y 满足约束条件120xy，则 32zxy的最小值为 .【答案】 5【解析】试题分析：不等式组表示的可行域如图所示，14易求得 1(,),)(,3ABC，由 32zxy得 2zx
22、在 y轴上的截距越大， z就越小所以，当直线直线 过点 A时， 取得最小值所以 z取得最小值为 3(1)5【考点】线性规划.2016 年高考全景展示1.【2016 高考新课标 1 卷】若 10abc， ,则( )（A） cab （B） c （C） loglbac （D） loglabc【答案】C【解析】试题分析：用特殊值法,令 3a, 2b, 1c得123,选项 A 错误,11223,选项 B 错误,2313logl,选项 C 正确, 32logl,选项 D 错误,故选 C考点：指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数
23、单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.2.【2016 高考浙江理数】在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影由区域 2034xy中的点在直线 x+y2=0 上的投影构成的线段记为 AB，则 AB=（ ）A2 B4 C3 2 D 6【答案】C15考点：线性规划【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定 A的值画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误3.【2016 年高考北京理数】若 x， y满足203xy，则 2xy的最大值为（ ）A.0 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】试题分析：作出如图可行
24、域，则当 yxz2经过点 P时，取最大值，而 )2,1(P，所求最大值为 4，故选 C. xyOP16考点：线性规划.【名师点睛】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式 2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察 z 的大小变化，得到最优解. 4. 【2016 高考浙江理数】已知实数 a， b， c（ ）A若| a2+b+c|+|a+b2+c|1，则 a2+b2+c2100B若| a2+b+c|+|a2+bc|1，则 a2+b2+c2100C若| a
25、+b+c2|+|a+bc2|1，则 a2+b2+c2100D若| a2+b+c|+|a+b2c|1，则 a2+b2+c2100【答案】D【解析】试题分析：举反例排除法：A.令 10,abc，排除此选项，B.令 ，排除此选项，C.令 ,c，排除此选项，故选 D考点：不等式的性质【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式5. 【2016 年高考四川理数】设 p：实数 x， y 满足 22(1)()y， q：实数 x， y 满足1,x则 p 是 q 的( )（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件
26、（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：画出可行域（如图所示） ，可知命题 q中不等式组表示的平面区域 ABC在命题 p中不等式表示的圆盘内，故选 A.176.【2016 高考山东理数】若变量 x， y 满足2,390,xy+-则2xy+的最大值是（ ）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以 A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域, 2xy表示点（ x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为 210O,故选 C.考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基
27、础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.7.【2016 高考天津理数】设变量 x， y 满足约束条件20,369.xy则目标函数 25zxy的最小值为（ ）（A） 4（B）6 （C）10 （D） 17【答案】B【解析】试题分析：可行域为一个三角形 ABC 及其内部，其中 (0,2)3,(1,)ABC，直线 z25xy过点 B 时取最小值 6，选 B. 考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线
28、，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.8. 【2016 高考新课标 3 理数】若 ,xy满足约束条件102xy则 zxy的最大值为_.18【答案】 32【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数 zxy经过点 1(,)2A时取得最大值，即 max132z考点：简单的线性规划问题【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的
29、等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果9.【2016 高考新课标 1 卷】某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150kg,乙材料90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元【答案】 2160【解析】试题分析：设生产产品 A、产品 B分别为 x、 y件,利润之
30、和为 z元,那么1.5039,6,0.xy目标函数 2109zxy.二元一次不等式组等价于1930,1956,0.xyy作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图）,即可行域.将 2109zxy变形,得 7390zx,平行直线 73yx,当直线 7390zyx经过点 M时,取得最大值.解方程组 3056xy,得 M的坐标 (6,1).所以当 , 1时, max2090216z.故生产产品 A、产品 B的利润之和的最大值为 元.考点：线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.20考点：1.充分条件、必要条件的判断；2.线性规划.【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考，本题条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得结论
