1、1专题 15 不等式性质，线性规划与基本不等式 文考纲解读明方向考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度不等式的概念和性质了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景理解 选择题 分析解读 1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为 5 分,属中低档题.考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.平面区域问题会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组理解选择题填空题2.线性
2、规划问题会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决理解选择题填空题分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查与平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为 5 分,属中低档题.考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度利用基本不等式求最值了解基本不等式的证明过程;会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题掌握选择题填空题分析解读 1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不
3、等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高2考热点.本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为 5 分.考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度不等式的综合应用能够灵活运用不等式的性质求定义域、值域;能够应用基本不等式求最值;熟练掌握运用不等式解决应用题的方法掌握选择题填空题解答题分析解读 不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.2018 年高考全景展示1.【2018 年天津卷文】设变量 x， y 满足约束条件 则目标函数 的最大值为A. 6 B. 19 C.
4、21 D. 45【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.点睛：求线性目标函数 z ax by(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时， z值最大，在 y 轴截距最小时， z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时， z 值最小，在y 轴上截距最小时， z 值最大.32 【2018 年文北京卷】设集合 则A. 对任意实数 a， B. 对任意实数 a， （2,1）C. 当且仅当 a0 时,（2,1） D. 当且仅当 时,（2,1）【答案】D【解析】分析：求出 及 所对应的集合，
5、利用集合之间的包含关系进行求解.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断 . 设 ，若 ，则 ；若 ，则 ，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.3 【2018 年浙江卷】若 满足约束条件 则 的最小值是_，最大值是_【答案】 -2 8【解析】分析:先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线 过点 A(2,2)时 取最大值 8，过点 B(4,-2)时 取最小值-2. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合
6、的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.44 【2018 年天津卷文】已知 ，且 ，则 的最小值为_.【答案】【解析】分析：由题意首先求得 a-3b 的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得” ，若忽略了某个条件，就会出现错误5 【2018 年文北京卷】若, y 满足 ，则 2y 的最
7、小值是_.【答案】3【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目标函数 的几何意义，可知当时取得最小值.详解：不等式可转化为 ，即 ， 满足条件的 在平面直角坐标系中的可行域如下图令 ，由图象可知，当 过点 时， 取最小值，此时 ，的最小值为 .点睛：此题考查线性规划，求线性目标函数 的最值，当 时，直线过可行域在 轴上截距最大时， 值最大，在 轴上截距最小时， 值最小；当 时，直线过可行域在 轴上截距最大时，值最小，在 轴上截距最小时， 值最大.56 【2018 年江苏卷】在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交 于点D，且 ，则 的最小值为_【答案】9【解析】分析：先根
8、据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7 【2018 年全国卷文】若变量 满足约束条件 则 的最大值是_【答案】3【解析】分析：作出可行域，平移直线可得详解：作出可行域由图可知目标函数在直线 与 的交点（2，3）处取得最大值 3，故答案为 3.点睛：本题考查线性规划的简单应用，属于基础题。 68 【2018 年全国卷 II 文】若 满足约束条件 则 的最大值为_【答案】9【
9、解析】分析：作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当 时， .点睛：线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.2017 年高考全景展示1.【2017 课标 1，文 7】设 x， y 满足约束条件3,10,xy则 z=x+y 的最大值为A0 B1 C2 D3【答案】 D【解析】试题分析：如图，目标函数 zxy经过 (3,0)A时最大，故 max30z，故选 D7【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式 0CByAx转化为 bkxy（
10、或 bkxy） ， “”取下方， “”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围2.【2017 课标 II，文 7】设 ,xy满足约束条件2+30xy,则 2zxy的最小值是A. 15 B. 9 C.1 D 9 【答案】A绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点 6,3B 处取得最小值1235z.故选 A. 8【考点】线性规划【名师点睛】点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是
11、：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.3.【2017 课标 3，文 5】设 x， y 满足约束条件3260xy，则 zxy的取值范围是（ ）A3,0 B3,2 C0,2 D0,3【答案】B【考点】线性规划【名师点睛】点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
12、4.【2017 北京，文 4】若 ,xy满足3,2,x则 y的最大值为（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，92zxy表示斜率为 12的一组平行线，当过点 3,C时，目标函数取得最大值 max329z，故选 D.【考点】线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义常见的目标函数有：（1）截距型：形如 zaxby.求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式： azyxb，通过求直线的
13、截距 z的最值间接求出 z的最值；（2）距离型：形如 22zxa ；（3）斜率型：形如 xa，而本题属于截距形式. 5.【2017 山东，文 3】已知 x,y 满足约束条件2503xy,则 z=x+2y 的最大值是A.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】D【解析】10当其经过直线 250xy与 2的交点 (1,)时, 2zxy最大为 123z,故选 D.【考点】线性规划【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式组若满足不等式组,则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧
14、的平面区域；当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤：画出约束条件对应的可行域；将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解对应的点；将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值6.【2017 浙江，4】若 x， y满足约束条件032xy，则 yxz2的取值范围是A0，6 B0，4 C6， ) D4， )【答案】 D【解析】【考点】 简单线性规划xoy2xy02yx03y11【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式 0CByAx转化为 bkxy（或 bkxy） ， “
15、”取下方， “”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围7.【2017 江苏，10】某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则 x的值是 .【答案】30【解析】总费用 60904()2904xx，当且仅当 90x，即 30x时等号成立.【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，
16、使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 8.【2017 天津，文 13】若 a， bR， 0，则41ab的最小值为 .【答案】 4 【解析】【考点】基本不等式求最值【名师点睛】本题使用了两次基本不等式，要注意两次使用的条件是不是能同时成立，基本不等式的常用形式包含 2,abaR， 2,baR，2ab，22ab等，基本不等式可以证明不等式，也可以求最值，再求最值时，注意“一正，二定，三相等”的条件，是不是12能取得，否则就不能用其求最值，若是使用 2 次，更要注意两次使用的条件是不是能
17、同时成立.9.【2017 山东，文】若直线 1(0)xyab ， 过点（1,2）,则 2a+b 的最小值为 .【答案】 8【解析】【考点】基本不等式10.【2017 天津，文 16】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）甲 70 5 60乙 60 5 25已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍.分别用 x， y表示每周
18、计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.（I）用 x， y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？【答案】 ()见解析（）电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多.【解析】试题分析：（）设根据甲乙连续剧总的播放时间不多于 600 分钟，得到 7060xy ，根据广告时间不少于 30 分钟，得到 530xy ，和 2xy ，同时注意次数，需满足 ,的条件，建立不等式组，画区域；（）求 65z的最值，同时注意是整数解.试题解析：（）解：由已知， ,xy满足的数学关系式为7060,532,0,x
19、yy即760,2,0,xyy13该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分：所以，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多.【考点】1.不等式组表示的平面区域；2.线性规划的实际问题.【名师点睛】本题主要考查简单线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义常见的目标函数有：（1）截距型：形如 zaxby.求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式： azyxb，通过求直线的截距 z的最值间接求出 z的最值；（2）距离
20、型：形如 22zxa ；（3）斜率型：形如 xa，而本题属于截距形式，但要注意实际问题 中的最优解是整数.2016 年高考全景展示141. 【2016 高考山东文数】若变量 x， y 满足2,390,xy则 x2+y2的最大值是（ ）（A）4（B）9（C）10（D）12【答案】C【解析】考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.2. 【2016 高考浙江文数】若平面区域30,2xy夹在两
21、条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）A.35 B. 2 C.32 D. 5 【答案】B【解析】试题分析：画出不等式组的平面区域如题所示，由 230xy得 (1,2)A，由 30xy得15(2,1)B，由题意可知,当斜率为 1 的两条直线分别过点 A 和点 B 时，两直线的距离最小，即22()A故选 B 考点：线性规划.【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据可行域的特点确定取得最值的最优解，代入计算画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误3. 【2016 高考新课标 2 文数】若 x， y 满足约束条件103xy，则 2zxy的最小值
22、为_【答案】 5【解析】考点： 简单的线性规划.【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：16(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值4. 2016 高考新课标文数若 ,xy满足约束条件210,xy则 235zxy的最大值为_.【答案】 10【解析】考点：简单的线性规划问题【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式
23、的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果5.【2016 高考上海文科】设则不等式 31x的解集为_.【答案】 (2,4)【解析】试题分析：由题意得： 13x，即 24x，故解集为 (2,4)考点：绝对值不等式的基本解法.【名师点睛】解绝对值不等式，关键是去掉绝对值符号，进一步求解，本题也可利用两边平方的方法17.本题较为容易.6.【2016 高考上海文科】若 ,xy满足0,1,x则 2y的最大值为_.【答案】 2考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题
24、，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.7. 【2016 高考新课标 1 文数】某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg,乙材料90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为
25、 元.【答案】 2160【解析】试题分析：设生产产品 A、产品 B分别为 x、 y件,利润之和为 z元,那么1.5039,6,0.xy18目标函数 2109zxy.二元一次不等式组等价于 30,1956,0.xyy作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图）,即可行域. 考点：线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.8.【2016 高考天津文数】(本小题满分 13 分)某化肥厂生产甲
26、、乙两种混合肥料，需要 A,B,C 三种主要原料.生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：19现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元.分别用 x,y 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.()用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；()问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.【答案】 （）详见解析（）生产甲种肥料 20车皮，乙种肥料 24车皮时
27、利润最大，且最大利润为 12万元【解析】试题分析：（）根据生产原料不能超过 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，列不等关系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域（）目标函数为利润 yxz32，根据直线平移及截距变化规律确定最大利润。(1)3x+10y=3004x+5y=2008x+5y=3601010yxO20M2x+3y=z2x+3y=0(2)3x+10y=3004x+5y=2008x+5y=3601010yxO考点：线性规划【名师点睛】解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答而求线性规划最值问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法.
