1、第三节 与圆有关的计算,考点一 与圆有关的计算 百变例题4 如图，AB是O的直径，P是O外一点， PAAB，弦BCOP，且APC60，AP2 .,(1)求证：PC为O的切线； 【自主解答】证明：如解图1，连接OC， BCOP， BPOA，BCOCOP， OBOC，BOCB， COPAOP； OCOA，OPOP，,PCOPAO(SAS)， OCPOAP90， OC为O的半径， PC是O的切线；,(2)求AOP的度数； 【自主解答】解：PC、PA是O的切线，且APC60， APO30， AOP60；,(3)求O的半径； 【自主解答】解：APC60，AP2 ， 由(2)得APO30， 又BAP90，
2、OP2OA， 在RtAPO中，OP2OA2AP2， 即4OA2OA2(2 )2， 解得OA2，O的半径为2；,(4)求弧 的长度； 【自主解答】解：在四边形OAPC中，APC60， PCOPAO90， AOC120， ,(5)求BC的长； 【自主解答】解：在四边形OAPC中，APC60， PCOPAO90， AOC120，BOC60， 又OBOC， OBC为等边三角形， BCOBOC2；,(6)求图中阴影部分的面积； 【自主解答】解：S阴影SAPOS扇形OAD,(7)若扇形AOC(劣弧 所对的部分)是圆锥的侧面展开图，求该圆锥的高h. 【自主解答】解：在图中作辅助线如解图2. FG即为扇形AO
3、C的半径，FGOA2， 圆锥底面圆的周长即为扇形AOC的弧长 即 解得,解图2,1(2015云南省卷)若扇形面积为3，圆心角为60， 则该扇形的半径为( ) A3 B9 C2 D3,D,2(2014云南省卷)已知扇形的圆心角为45，半径长为 12，则该扇形的弧长为( ) A. B2 C3 D12,C,考点二 阴影部分面积的计算 命题角度 直接用面积公式计算 例1(2018成都)如图，在ABCD中，B60，C的半径 为3，则图中阴影部分的面积是( )A B2 C3 D6,【分析】 由图可知，阴影部分是半径为3，圆心角为C的扇形，故需计算C的度数，由平行四边形邻角互补可得结论，再利用扇形面积公式计
4、算即可 【自主解答】 四边形ABCD是平行四边形，ABCD. BC180.C18060120.S阴影 3.故选C.,命题角度 等积转化法 例2 如图，AB是O的直径，弦CDAB，CDB30，CD 2 ，则阴影部分图形的面积为( ) A4 B2 C D.,【分析】 可由圆的对称性将阴影部分面积等积转化为扇形OBC的面积，利用公式计算,【自主解答】如解图，设CD交OB于E，AB是 直径，CDAB，CEDE，CDB30， DBE90BDE60.COB2CDB 60，COEDBE，CEDE，CEODEB， COEDBE(AAS)，在RtCOE中，CEDE ，COE 60，CO2.S阴影S扇形OCB 故
5、选D.,命题角度 直接和差法 例3(2018益阳)如图，正方形ABCD内接于圆O， AB4，则图中阴影部分的面积是( ) A416 B816 C1632 D3216,【分析】 观察图形，可知阴影部分的面积为圆的面积减去 正方形的面积 【自主解答】由正方形ABCD中AB4，可得圆O半径为2 ， 所以S阴影S圆OS正方形ABCD(2 )242816.故选 B.,命题角度 构造和差法 例4(2017云南省卷)如图，边长为4的正 方形ABCD外切于O，切点分别为E、F、G、 H.则图中阴影部分的面积为 ,【分析】 如解图，连接HO并延长交CB于点P，证四边形AHPB 为矩形知HF为O的直径，同理得EG
6、为O的直径，再证四边 形DGOH、四边形OGCF、四边形OFBE、四边形OEAH均为正方形 得出圆的半径及HGF为等腰直角三角形，根据S阴影 SO SHGF可得答案,【自主解答】如解图，连接HO并延长HO交CB 于点P，正方形ABCD外切于O，A BAHP90，四边形AHPB为矩形， OPB90，又OFB90，点P与点 F重合，则HF为O的直径，同理EG为O的直径，由D OGDOHD90且OHOG知，四边形DGOH为正方形，,同理四边形OGCF、四边形OFBE、四边形OEAH均为正方形， DHDGGCCF2，HGOFGO45，HGF 90，GHGF 2 ，则S阴影 SOSHGF 22 2 2
7、24，故答案为24.,常见阴影部分面积计算的方法汇总,考点三 圆锥、圆柱的相关计算 例5(2016云南省卷)如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长 分别为6，16的长方形，那么这个圆柱的体积等于 【分析】分两种情况：底面周长为6，高为16；底面 周长为16，高为6；先根据底面周长得到底面半径，再根 据圆柱的体积公式计算即可求解,【自主解答】 底面周长为6，高为16，( )2 16 16144；底面周长为16，高为6， ( )26646384.这个圆柱的体积为 144或384.,例6(2017云南省卷)正如我们小学学过的圆锥体积公式Vr2h(表示圆周率，r表示圆锥的底面半径，h表示圆锥 的高)一样，许
8、多几何量的计算都要用到.祖冲之是世界上 第一个把计算到小数点后7位的中国古代科学家，创造了 当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把计 算得更精确在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了 多少现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位,数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习,下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是 个半圆，若该圆锥的体积等于9 ，则这个圆锥的高等于 ( ),【分析】 设母线长为R，底面圆半径为r，根据弧长公式、 扇形面积公式以及圆锥体积公式即可求出圆锥的高 【自主解答】设母线长为R，底面圆半径为r，圆锥的高为 h，由于圆锥的侧面展开图是个半圆，侧面展开图的弧长 为： R，底面圆的周长为：2r，R2r， R2r，由勾股定理可知：h r，圆锥的体积等于 9 ，9 r2h，r3，h3 .故选D.,
