1、第二节 矩形、菱形、正方形,考点一 矩形判定及性质的相关计算 例1(2015云南省卷)如图，在矩形ABCD中， AB4，AD6，M，N分别是AB，CD的中点， P是AD上的点，且PNB3CBN. (1)求证：PNM2CBN； (2)求线段AP的长,【分析】 (1)由MNBC，易得CBNMNB，由已知PNB3CBN，根据角的和差即可得出结论；(2)连接AN，根据矩形的轴对称性，可知PANCBN，由(1)知PNM2CBN2PAN，由ADMN，可知PANANM，所以PANPNA，根据等角对等边得到APPN，再用勾股定理列方程求出AP.,【自主解答】 (1)证明：四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB
2、，CD的中点， MNBC，CBNMNB， PNB3CBN， PNM2CBN；,(2)解：如解图，连接AN，根据矩形的轴对称性，可知PANCBN， MNAD，PANANM， 由(1)知PNM2CBN，PANPNA， APPN， ABCD4，M，N分别为AB，CD的中点，DN2， 设APx，则PD6x，,在RtPDN中，PD2DN2PN2， (6x)222x2，解得：x ， AP .,1(2016昆明)如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边 的中点，AB6，BC8，则四边形EFGH的面积是_.,24,考点二 菱形判定及性质的相关计算 例2(2017云南省卷)如图，ABC是以BC为 底的等腰三角
3、形，AD是边BC上的高，点E、F 分别是AB、AC的中点 (1)求证：四边形AEDF是菱形； (2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.,【分析】 (1)先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE ABAE，DF ACAF，再根据ABAC，点E、F分别是 AB、AC的中点，即可得到AEAFDEDF，进而判定四边形 AEDF是菱形；(2)设EFx，ADy，则xy7，进而得到x2 2xyy249，再根据RtAOE中，AO2EO2AE2，得到x2 y236，据此可得xy ，进而得到菱形AEDF的面积S.,【自主解答】(1)证明：ADBC，点E、F分别是AB
4、、 AC的中点， 在RtABD中，DE ABAE， 在RtACD中，DF ACAF， 又ABAC，点E、F分别是AB、AC的中点， AEAF， AEAFDEDF， 四边形AEDF是菱形；,(2)解：如解图，设AD与EF的交点为点O， 菱形AEDF的周长为12， AE3，设EFx，ADy， 则xy7， x22xyy249 ， ADEF于O，,在RtAOE中，AO2EO2AE2， ( y)2( x)232，即x2y236 ， 把代入，可得2xy13， xy ，菱形AEDF的面积S xy .,1(2015昆明)如图，在菱形ABCD中， 对角线AC、BD相交于点O，下列结论： ACBD；OAOB；AD
5、BCDB； ABC是等边三角形，其中一定成立的是( ) A B C D,D,2(2016云南省卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，ABCBAD12，BEAC，CEBD. (1)求tanDBC的值； (2)求证：四边形OBEC是矩形,(1)解：四边形ABCD是菱形， ADBC，DBC ABC， ABCBAD180， ABCBAD12，ABC60， DBC ABC30， tanDBCtan30 ；,(2)证明：BEAC，CEBD， BEOC，CEOB， 四边形OBEC是平行四边形， 四边形ABCD是菱形， ACBD，即BOC90， 四边形OBEC是矩形,考点三 正方形性质的相关计算
6、例3 如图，在矩形ABCD中，AE平分BAD，交BC于E，过E作EFAD于F，连接BF交AE于P，连接PD. (1)求证：四边形ABEF是正方形； (2)如果AB6，AD8，求tanADP的值,【分析】 (1)由矩形的性质得出FABABE90，再由EFAB，证出四边形ABEF是矩形，再证明ABBE，即可得出四边形ABEF是正方形；(2)由正方形的性质得出BPPF，BAAD，PAF45，得出ABPH，求出DHADAH5，在RtPHD中，由三角函数即可得出结果,【自主解答】(1)证明：四边形ABCD是矩形， FABABE90， EFAD，AFE90， 四边形ABEF是矩形， AE平分BAD，AFB
7、E， FAEBAEAEB， ABBE， 四边形ABEF是正方形,(2)解：过点P作PHAD于H，如解图所示： 四边形ABEF是正方形， BPPF，BAAD，PAF45，ABPH， AB6，AHPH3， AD8， DHADAH835， 在RtPHD中，PHD90. tanADP .,1(2016昆明)如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为 AB上一点，过点E作EFAD，与AC、DC分别交于点G，F，H为 CG的中点，连接DE，EH，DH，FH.下列结论： EGDF；AEHADH180； EHFDHC；若 ，则3SEDH13SDHC， 其中结论正确的有( ) A1个 B2个 C3个 D4个,D,
