1、1.3.3 函数的奇偶性,1.3函数的基本性质,还能回忆起： 什么是轴对称图形？ 什么是中心对称图形吗？,中国的古建筑讲求对称美，相映成趣, 给人以稳重、博大、端庄的感觉！其实数学中的函数图象也有对称性,li,对于这些对称的函数图象，它们体现了函数的什么性质？我们今天来学习这个性质！,以上函数图像有什么共同特征呢？,以上函数图像都关于y轴对称,把图像关于y轴对称函数称为偶函数,猜想：,偶函数的定义,(1)偶函数的图象有什么特征？ (2)函数f(x)x2，x1,2是偶函数吗？ (3)偶函数的定义域有什么特征？,(1)偶函数的图象关于y轴对称,(2)函数f(x)x2，x1,2不是偶函数,(3)偶函
2、数的定义域关于原点对称,观察下图图像有什么共同的特征呢？,f(x)=x,两个函数的图像都关于原点对称.,f(x)=x,x,-3,-2,-1,0,1,2,3,0,-1,-2,-3,1,4,9,f(x)=x3,x,-3,-2,-1,0,1,2,3,0,-1,-8,-27,1,8,27,相应的两个函数值对应表是如何体现这些特点的呢？,由此得到f(-x)=-x=-f(x) ，即f(-x)=-f(x). 由此得到f(-x)=- x3 =-f(x),即f(-x)=-f(x). 当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数.,从函数值对应表可以看到互为相反数的点的纵坐标有什么关系？,对于R内
3、任意的一个x，都有f(-x)=-x=-f(x)，这时我们称函数f(x)=x为奇函数.,函数的奇偶性的定义,一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)奇函数.,知识要点,奇函数的图象有什么特征？,奇函数的图象关于原点对称,我会总结,（1）判断函数 的奇偶性. （2）如图是函数 图像的一部分，能否根据f(x)的奇偶性画出它在y 轴左边的图像吗？,（1）奇函数 （2）根据奇函数的图像关于原点对称,例1.判断下列函数的奇偶性： （1） ； （2） ； （3） ； （4）,分析：只要按照函数奇偶性的定义，检验各个函数是否符合即可.,例题解析,解
4、：（1）对于函数f(x)=x4，其定义域是 .因为对定义域内的每一个x，都有 所以，函数f(x)=x4为偶函数。,(2)对于函数f(x)=x5，其定义域为 .因为对定义域内的每一个x，都有所以，函数f(x)=x5为奇函数.,(3)对于函数 ，其定义域是x|x0. 因为对于定义域内的每一个x，都有所以，函数 为奇函数.,用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是： （1）先求函数的定义域，由于在函数奇偶性的定义中都是x和-x对应出现，故具备奇偶性的函数的定义域区间一定关于坐标原点对称，如果求出函数的定义域不是关于坐标原点对称的，则这个函数不具备奇偶性.,（2）验证f(-x)=f(x) ，或者f
5、(-x)=-f(x).,（3）根据函数奇偶性的定义得出结论.,归纳升华,1.函数f(x)=x2，x0，)的奇偶性是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数，又是偶函数,【提示】函数定义域不关于原点对称，所以函数是 非奇非偶函数,C,达标检测,2.已知函数f（x）为奇函数，且当x0时， f（x）= x2+ ，则f（-1）=（ ） A2 B1 C0 D-2,解题提示：由条件利用函数的奇偶性可得；f（-1）=-f（1），运算求得结果,D,3.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为a-1,2a,则a=_，b=_.,【解析】因为定义域为a-1,2a关于原点对称， 所以a-1+2a=0，所以a= 又因为f(-x)=f(x)， 所以 x2-bx+1+b= x2+bx+1+b, 由对应项系数相等得，-b=b，所以b=0.,0,4. 判断下列函数的奇偶性,(2) f(x)= - x2 +1,(3). f(x)=x2+x (4) f(x)=0,答案:,(1)奇函数,(2)偶函数,(3)非奇非偶函数,(4)既奇又偶函数,(5)非奇非偶函数,课堂小结,
