1、,1.3.2 函数的最大（小）值,1.3函数的基本性质,函数最大（小）值的数的定义,函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对任意的 ，都有 ； （2）存在 ，使得 。 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值。,知识梳理,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足： （1）对任意是 ，都有 ； （2）存在 ，使得 。 那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值。,函数最小值的定义,类型一 借助单调性求最值,解 设x1，x2是区间(0，)上的任意两个实数，且x1x2，,当00，x1x210，x1x210，f(x1)f(x2)0，f(x
2、1)f(x2)， f(x)在1，)上递减.,例题探究,反思与感悟 (1)若函数yf(x)在区间a，b上递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a). (2)若函数yf(x)在区间a，b上递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b). (3)若函数yf(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小).函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的. (4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.,类型二 求二次函数的最值,例2 (1)已知函数f(x)x22x3，若x0,2，求函数f(x)的最值
3、；,解答,解 函数f(x)x22x3开口向上，对称轴x1， f(x)在0,1上递减，在1,2上递增，且f(0)f(2). f(x)maxf(0)f(2)3， f(x)minf(1)4.,解 对称轴x1， 当1t2即t1时， f(x)maxf(t)t22t3， f(x)minf(t2)t22t3.,f(x)maxf(t)t22t3， f(x)minf(1)4.,(2)已知函数f(x)x22x3，若xt，t2，求函数f(x)的最值；,f(x)maxf(t2)t22t3， f(x)minf(1)4. 当11时， f(x)maxf(t2)t22t3， f(x)minf(t)t22t3. 设函数最大值为
4、g(t)，最小值为(t)，则有,解答,由(1)知yt22t3(t0)在0,1上递减，在1，)上递增. 当t1即x1时，f(x)min4，无最大值.,反思与感悟 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素. (2)图像直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题.,答案,解析,2,解析 f(x)的图像如图：,则f(x)的最大值为f(2)2.,类型三 借助图像求最值,例4 已知x2xa0对任意x(0，)恒成立，求实数a的取值范围.,解答,类型四 函数最值的应用,解 方法一 令yx2xa，,方法二 x2xa0可化为ax2x. 要使ax2x对任意x(
5、0，)恒成立， 只需a(x2x)max，,1.已知函数f(x)x24xa，x0,1，若f(x)的最小值为2，则f(x)的最大值为( ) A1 B0 C1 D2,达标检测,解析 因为f(x)(x2)24a，由x0,1可知当x0时，f(x)取得最小值，即44a2，所以a2，所以f(x)(x2)22，当x1时，f(x)取得最大值为121.故选C.,C,2已知函数f(x)4x2kx8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( ) A160，) B(，40 C(，40160，) D(，2080，),解析 由于二次函数f(x)4x2kx8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f(x)4x2kx8在区间(5,20)上是单调函数二次函数f(x)4x2kx8图像的对称轴方程为x ，因此 5或 20，所以k40或k160.,C,4.有一长为24米的篱笆，一面利用墙(墙最大长度是10米)围成一个矩形花圃，设该花圃宽AB为x米，面积是y平方米， (1)求出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围； (2)当花圃一边AB为多少米时，花圃面积最大？并求出这个最大面积？,【解】 (1)如图所示：,0242x10，7x12， yx(242x)2x224x，(7x12) (2)由(1)得，y2x224x2(x6)272， AB6 m时，y最大为72 m2.,
