1、结论1 奇函数的最值性质 已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有f(x)f(x)0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)maxf(x)min0，且若0D，则f(0)0.,g(x)为奇函数， 由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0， Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2. 答案 2,解析 显然函数f(x)的定义域为R，,【训练1】 对于函数f(x)asin xbxc(其中a，bR，cZ)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(1)，所得出的正确结果一定不可能是( )A.4和6 B.3和1C.2和4 D.1和2解析
2、 令g(x)f(x)casin xbx，则g(x)是奇函数.又g(1)g(1)f(1)cf(1)cf(1)f(1)2c，而g(1)g(1)0，c为整数，f(1)f(1)2c为偶数.选项D中，123是奇数，不可能成立.答案 D,结论2 抽象函数的周期性与对称性 1.函数的周期性,2.函数的对称性,【例2】 (1)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，有f(x3)f(x)，且当x(0，3)时，f(x)x1，则f(2 017)f(2 018)( )A.3 B.2 C.1 D.0(2)(2018日照调研)函数yf(x)对任意xR都有f(x2)f(x)成立，且函数yf(x1)的图象关于点(1，
3、0)对称，f(1)4，则f(2 016)f(2 017)f(2 018)的值为_.,解析 (1)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 所以f(2 017)f(2 017)， 因为当x0时，有f(x3)f(x)， 所以f(x6)f(x3)f(x)， 即当x0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次.,又当x(0，3)时，f(x)x1， f(2 017)f(33661)f(1)2，f(2 018)f(33662)f(2)3. 故f(2 017)f(2 018)f(2 017)31.,(2)因为函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称， 所以f(x)是R上的奇函数， f(x2)f(x)，所
4、以f(x4)f(x2)f(x)，故f(x)的周期为4. 所以f(2 017)f(50441)f(1)4， 所以f(2 016)f(2 018)f(2 014)f(2 0144)f(2 014)f(2 014)0， 所以f(2 016)f(2 017)f(2 018)4. 答案 (1)C (2)4,【训练2】 奇函数f(x)的定义域为R.若f(x2)为偶函数，且f(1)1，则f(8)f(9)( )A.2 B.1 C.0 D.1,解析 由f(x2)是偶函数可得f(x2)f(x2)， 又由f(x)是奇函数得f(x2)f(x2)， 所以f(x2)f(x2)，f(x4)f(x)，f(x8)f(x)， 故
5、f(x)是以8为周期的周期函数， 所以f(9)f(81)f(1)1. 又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0， 所以f(8)f(0)0，故f(8)f(9)1. 答案 D,结论3 两个经典不等式 (1)对数形式：x1ln x(x0)，当且仅当x1时，等号成立. (2)指数形式：exx1(xR)，当且仅当x0时，等号成立. 进一步可得到一组不等式链：exx1x1ln x(x0，且x1).,【例3】 (2017全国卷改编)已知函数f(x)x1aln x.,(1)解 f(x)的定义域为(0，)，,当x(0，a)时，f(x)0； 所以f(x)在(0，a)单调递减，在(a，)单调递增， 故xa是f
6、(x)在(0，)的唯一最小值点. 因为f(1)0，所以当且仅当a1时，f(x)0，故a1.,求得x|x1，且x0，所以排除选项C，D. 当x0时，由经典不等式x1ln x(x0)， 以x1代替x，得xln(x1)(x1，且x0)， 所以ln(x1)x1，且x0)，易知B正确. 答案 B,则g(x)exx1， 由经典不等式exx1恒成立可知，g(x)0恒成立，所以g(x)在R上为单调递增函数，且g(0)0. 所以函数g(x)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点.,解得x0或x1(x0舍去)，x1. 答案 A,解析 如图，连接MN并延长交AB的延长线于T.,点P的轨迹一定经过ABC的重心. 答案 C,
7、P的轨迹一定要通过ABC的内心. 答案 (1)D (2)B,显然可得am0，所以am2. 代入上式可得2m119，解得m10.,(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.,答案 (1)10 (2)5,【训练6】 设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m( )A.3 B.4 C.5 D.6,解析 Sm12，Sm0，Sm13，amSmSm12，am1Sm1Sm3， 公差dam1am1，,答案 C,结论7 与等比数列相关的结论 (1)公比q1时，Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列(nN*). (2)若等比数列的项数为2n(nN
8、*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶qS奇. (3)已知等比数列an，公比为q，前n项和为Sn.则SmnSmqmSn(m，nN*).,答案 B,由(1)及题意可得log2ann2，,解析 设等比数列an的公比q，易知S30.,则S6S3S3q39S3，所以q38，q2.,【例8】 (1)(2018安徽皖北协作区联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为( ),A.24 B.29 C.48 D.58,解析 (1)由三视图知，该几何体为三棱锥，,如图，在324的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥ABCD)，
9、其外接球即为长方体的外接球. 表面积为4R2(322242)29.,(2)过点P作PH平面ABCD于点H.由题意知，四棱锥PABCD是正四棱锥，内切球的球心O应在四棱锥的高PH上.过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，,其中PE，PF是斜高，M为球面与侧面的一个切点.,设PHh，易知RtPMORtPHF，,答案 (1)B (2)D,答案 (1)A (2)A,【例9】 已知抛物线C：x24y，直线l：xy20，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程.,整理得x24x80， (4)248160， 故直线l与抛物线C相离. 由结论知，P在抛物线外，故切点弦AB所在的直线方程为x0x2(yy0)，,解析 (1)如图，圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1).,故直线AB的方程为y12(x1)，即2xy30.,答案 (1)A (2)x2y40,解析 由对称性不妨设点A在x轴的上方， 如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BEAD于E，,设|BF|m，直线l的倾斜角为，则|AB|3m， 由抛物线的定义知|AD|AF|2m，|BC|BF|m，,答案 B,答案 D,
