1、第1讲 等差数列与等比数列,高考定位 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.,1.(2017全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为( )A.24 B.3 C.3 D.8,答案 A,真 题 感 悟,答案 D,3.(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和.若Sn2an1，则S6_.解析 因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11，,答案 63,4.(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an
2、的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和.若Sm63，求m.解 (1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.,由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解. 若an2n1，则Sn2n1. 由Sm63得2m64，解得m6. 综上，m6.,1.等差数列,考 点 整 合,2.等比数列,热点一 等差、等比数列的基本运算 【例1】 (1)(2018潍坊三模)已知an为等比数列，数列bn满足b12，b25，且an(bn1bn)an1，则数列bn的前n项和为( ),解析 由b12，b25，且an(bn1bn)an1.,从而bn
3、1bn3，则数列bn是首项为2，公差为3的等差数列.,答案 C,(2)(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315. 求an的通项公式； 求Sn，并求Sn的最小值. 解 设an的公差为d，由题意得3a13d15. 由a17得d2. 所以an的通项公式为an2n9. 由得Snn28n(n4)216. 所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.,探究提高 1.等差(比)数列基本运算的解题途径： (1)设基本量a1和公差d(公比q). (2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量. 2.第(2)题求出基本量a1与公差
4、d，进而由等差数列前n项和公式将结论表示成“n”的函数，求出最小值.,【训练1】 (1)(2018郑州调研)已知等差数列an的公差为2，a2，a3，a6成等比数列，则an的前n项和Sn( )A.n(n2) B.n(n1)C.n(n1) D.n(n2),答案 A,(2)(2017全国卷)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2b22. 若a3b35，求bn的通项公式； 若T321，求S3. 解 设an公差为d，bn公比为q，,故bn的通项公式为bn2n1.,当d1时，S36；当d8时，S321.,(2)Sn2an2，n1时，a12a12，解得a12.
5、当n2时，anSnSn12an2(2an12)，an2an1. 数列an是公比与首项都为2的等比数列，an2n. bn10log2an10n. 由bn10n0，解得n10. bn前9项为正，第10项为0，以后各项为负， 使数列bn的前n项和取最大值时的n的值为9或10. 答案 (1)D (2)9或10,探究提高 1.利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解. 2.活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.,(2)设等比数列an的公比为q，,答案 (1)D (2)B,则Sn
6、1(Sn12Sn)0. an0，知Sn10，Sn12Sn0， 故Sn12Sn.,(2)解 由(1)知，Sn12Sn， 当n2时，Sn2Sn1， 两式相减，an12an(n2，nN*)， 所以数列an从第二项起成等比数列，且公比q2. 又S22S1，即a2a12a1， a2a110，得1.,若数列an是等比数列，则a212a12. 1，经验证得1时，数列an是等比数列.,【迁移探究】 若本例中条件“a11”改为“a12”其它条件不变，试求解第(2)问.,解 由本例(2)，得an12an(n2，nN*). 又S22S1，a2a120. an(2)2n2(n2). 又a12，若an是等比数列， a2
7、(2)202a14，2. 故存在2，此时an2n，数列an是等比数列.,【训练3】 (2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列.,解 (1)设an的公比为q，由题设可得,故an的通项公式为an(2)n.,Sn1，Sn，Sn2成等差数列.,热点四 等差数列与等比数列的综合问题 【例4】 (2018天津卷)设an是等差数列，其前n项和为Sn(nN*)；bn是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(nN*).已知b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn(
8、T1T2Tn)an4bn，求正整数n的值.,解 (1)设等比数列bn的公比为q(q0). 由b11，b3b22，可得q2q20. 因为q0，可得q2，故bn2n1.,设等差数列an的公差为d. 由b4a3a5，可得a13d4. 由b5a42a6，可得3a113d16，从而a11，d1，故ann.,整理得n23n40，解得n1(舍)，或n4. 所以，n的值为4.,探究提高 1.等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便. 2.数列的通项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.,【训练4】 (2018武汉质检)在公比为q的等比数列
9、an中，已知a116，且a1，a22，a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)若q10的最小正整数n的值.,解 (1)依题意，2(a22)a1a3，且a116. 2(16q2)1616q2，即4q28q30.,(2)由(1)知，当q1时，an25n.,n2，正整数n的最小值为3.,1.在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算. 2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.,
