1、第四章 三角函数,高考文数,4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式,知识清单,考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.象限角,2.终边相同的角,3.弧度制 (1)角度制与弧度制的互化 1= rad;1 rad= . (2)弧长及扇形面积公式 弧长公式: l=|r . 扇形面积公式: S= lr= |r2 ,其中|为圆心角弧度数的绝对值, r为扇形半径.,4.任意角的三角函数的定义 设角终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为r,则 sin = ,cos = ,tan = . 5.三角函数值在各象限的符号上述符号可简记为:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
2、,6.三角函数线 各象限内的三角函数线如下表:,(2)商数关系: tan = .,当角的终边与x轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个点,此时 角的正弦值和正切值都为0;当角的终边与y轴重合时,余弦线变成一 个点,正切线不存在,此时角的余弦值为0,正切值不存在. 7.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: sin2+cos2=1 ;,8.诱导公式,角“ (kZ)”的三角函数的记忆口诀为“奇变偶不变,符号看象限”. 拓展延伸1.由三角函数线得出的重要结论 ,2.两个常用结论 当 时,sin 1. 3.常用同角三角函数公式的变形 sin2=1-cos2;cos2=1-sin2;(sin cos )
3、2=12sin cos ;sin = cos tan ;sin2= = ;cos2= = . 4.正确理解“奇变偶不变,符号看象限”,“奇”“偶”指的是k +(kZ)中的整数k是奇数还是偶数.“变”与 “不变”是相对于对偶关系而言的,sin 与cos 对偶.“符号看象限” 指的是在k +(kZ)中,将看成锐角时,k +(kZ)的终边所在的象限.,定义法求三角函数值 定义法求三角函数值有两种情况: (1)已知角的终边上一点P的坐标,则可先求出P到原点的距离r,然后用 三角函数的定义求解; (2)已知角的终边所在的直线方程,则可先设出终边上的一点坐标,求出 此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来
4、求相关问题.若直线的倾 斜角为特殊角,则可直接写出角的三角函数值. 例1 已知角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边 在直线y=2x上,则cos 2= ( B ) A.- B.- C. D.,方法技巧,解题导引 方法一:在角的终边上任取一点P,根据直线方程 设出点P的坐标 根据三角函数定义分别 求出sin 与cos 利用二倍角公式求出cos 2 方法二:求出tan 利用cos 2= = 代入求值,解析 解法一:设角的终边上任一点为P(k,2k), 则r= = |k|. 当k0时,r= k, sin = = ,cos = = , cos 2=cos2-sin2= - =- . 当
5、k0时,r=- k, sin =- =- ,cos =- =- . cos 2=cos2-sin2= - =- . 综上可得,cos 2=- ,故选B.,解法二:因为该直线的斜率k=2=tan , 所以cos 2= = =- .故选B.,同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用方法 1.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握三角函数 诱导公式与同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形用.同角三角 函数的基本关系本身就是一个恒等式,但也可以看作一个方程,当已知 同角三角函数的另外一个关系式时,可以和同角三角函数的基本关系组 成方程组,通过解方程组达到解决问题的目的. 2.利用诱导公式求
6、解问题的关键是先观察角,后看函数名.一般是先将负 角化成正角,再化为0360的角,最后化成锐角求其函数值.在化简过程 中牢记“奇变偶不变,符号看象限”的原则.,解析 (1) ,cos 0.3sin 2=2cos ,即6sin cos =2cos , sin = ,则sin =-cos = = . (2)由 消去cos 整理,得 25sin2-5sin -12=0, 解得sin = 或sin =- . 因为是三角形的内角, 所以sin = ,又由sin +cos = ,得cos =- , 所以tan =- .,答案 (1) (2)-,齐次式问题的求解方法 若已知正切值,求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值,可以通过分 子、分母同时除以一个余弦的齐次幂,将其转化为一个关于正切的分 式,代入正切值解题. 例3 (2015四川,13,5分)已知sin +2cos =0,则2sin cos -cos2的值是 .,解题导引 由sin +2cos =0 得tan =-2 由同角三角函数的基本 关系把所求式子转化为 关于tan 的代数式 代入tan 求值,解析 由sin +2cos =0得tan =-2. 2sin cos -cos2= = = = =-1.,答案 -1,
