1、第十六章 不等式选讲,高考理数,考点一 含绝对值不等式的解法 1.|ax+b|c,|ax+b|c型不等式的解法 (1)若c0,则|ax+b|c等价于-cax+bc,|ax+b|c等价于ax+bc或ax +b-c,然后根据a,b的值求解即可. (2)若c0,则|ax+b|c的解集为,|ax+b|c的解集为R. 2.|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c型不等式的解法 通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解. (1)零点分区间法的一般步骤 令每个绝对值符号内的一次式为零,并求出相应的根; 将这些根按从小到大顺序排列,把实数集分为若干个区间; 由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等
2、式,解这些不等式,求出解,知识清单,集; 取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集. (2)利用绝对值不等式的几何意义 由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到a,b对应的点的 距离之和与距离之差,因此对形如|x-a|+|x-b|c的不等式,利 用绝对值的几何意义求解更直观. 3.|f(x)|g(x),|f(x)|0)型不等式的解法 (1)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x). (2)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x).,考点二 不等式的证明 证明不等式的常用结论 (1)绝对值的三角不等式 定理1:若a,b为实数,则|a+b
3、|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立. 定理2:设a,b,c为实数,则|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号 成立. 推论1:|a|-|b|a+b|. 推论2:|a|-|b|a-b|. (2)三个正数的算术几何平均不等式:如果a,b,cR+, 那么 ,当且仅当a=b=c时等号成立. (3)基本不等式(基本不等式的推广):对于n个正数a1,a2,an,它们的算术,平均值不小于它们的几何平均值,即 ,当且 仅当a1=a2=an时,等号成立.,1.基本性质法:对于a0,|x|axa. 2.平方法:不等式两边同时平方去掉绝对值符号. 3.零点分区间法:含有两个或两
4、个以上绝对值符号的不等式,可用零点分 区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等 式(组)求解. 4.几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转化为数轴上两 点的距离求解. 5.数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图 象,利用函数图象求解.,含绝对值不等式的解法,方法技巧,例1 (2016课标全国,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|1的解集.,解析 (1)f(x)= (3分) y=f(x)的图象如图所示. (5分),(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1
5、时,可得x=1或x=3;(6分) 当f(x)=-1时,可得x= 或x=5, (7分) 故f(x)1的解集为x|11的解集为 . (10分),解析 (1)当a=0时,由f(x)g(x),得|x+1|2|x|, 两边平方,并整理得(3x+1)(1-x)0, 所以所求不等式的解集为 . (2)解法一:由f(x)g(x),得|x+1|2|x|+a,即|x+1|-2|x|a. 令F(x)=|x+1|-2|x|,依题意可得F(x)maxa. F(x)=|x+1|-|x|-|x|x+1-x|-|x|=1-|x|1, 当且仅当x=0时,上述不等式的等号同时成立, 所以F(x)max=1. 所以a的取值范围是(
6、-,1.,解法二:由f(x)g(x),得|x+1|2|x|+a,即|x+1|-2|x|a. 令F(x)=|x+1|-2|x|,依题意可得F(x)maxa. F(x)=|x+1|-2|x|= 易得F(x)在(-,0)上单调递增,在(0,+)上单调递减, 所以当x=0时,F(x)取得最大值,最大值为1. 故a的取值范围是(-,1.,不等式证明的常用方法有:比较法,综合法,分析法,反证法,放缩法,数学 归纳法等. 例3 (2016广东肇庆三模,24)已知a0,b0,且a+b=1. (1)求ab的最大值; (2)求证: .,不等式的证明,解析 (1)a0,b0,且a+b=1, = , ab , 即ab的最大值为 . (2)证法一:(分析法) 欲证原式,需证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+40, 即证4(ab)2-33ab+80,即证ab 或ab8. a0,b0,a+b=1,ab8不可能成立. 1=a+b2 ,ab ,从而得证.,证法二:(比较法) a+b=1,a0,b0,a+b2 , 0ab . - = - = = 0, .,
