1、第十二章 推理与证明,高考文数,考点一 合情推理与演绎推理 1.推理的定义 根据几个或一个已知的事实(或假设)得出一个判断的思维方式叫做推 理.它由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设),叫做前提,一部分是 由已知判断推出的新判断,叫做结论,推理可以写成“如果那么” “因为所以”“根据可知”等形式. 2.归纳推理 (1)定义:根据某类事物的部分对象具有的某些特征,推出该类事物的全 部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推 理,称为归纳推理.简而言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的 推理.,知识清单,(2)一般步骤:(i)通过观察个别情况发现某些相同的性质.(ii)
2、从已知的相 同性质中推出一个明确表述的一般性命题(或猜想).一般地,如果归纳的 个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题就越可靠. 3.类比推理 (1)定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特 征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简而言之,类 比推理是由特殊到特殊的推理. (2)一般步骤:(i)找出两类事物之间的相似性或者一致性.(ii)用一类事物 的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想).一般情 况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那 么类比得出的命题就越可靠.类比推理的结论具有或然性,既可能真,也,可能假
3、,它是一种由特殊到特殊的认识过程,具有十分重要的实用价值, 是一种合情推理. 4.演绎推理的主要形式是三段论,其一般模式为:(1)大前提已知的 一般原理,(2)小前提所研究的特殊情况,(3)结论根据一般原理 对特殊情况作出的判断.形式可以表示为: 大前提:M是P, 小前提:S是M, 结论:S是P.,考点二 直接证明与间接证明 1.综合法是从原因推导到结果的思维方法,它是从已知条件出发,经 过逐步推理,最后得到待证的结论. 2.分析法是从待证结论出发,一步一步地寻求结论成立的充分条件,最后 归结为题设的已知条件或已被证明的事实. 3.数学中的命题,都有题设(条件)和结论两部分.当我们证明一个命题
4、时, 不直接从题设出发去推证结论成立,而是从否定这个命题的结论出发, 通过正确、严密的逻辑推理,由此引出一个新的结论,而这个新结论与 题设矛盾(或与已知的定义、公理或定理相矛盾,或自相矛盾),得出原结 论的反面不正确,从而肯定原结论是正确的,这种间接证明的方法叫做 反证法.,合情推理与演绎推理 1.归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理,在进行归纳时,要先 根据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳 出一般结论. 2.类比推理是由特殊到特殊的推理,是两类类似对象之间的推理,其中一 个对象具有某个性质,则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时, 要充分考虑已知对象性质
5、的推理过程,然后类比推导类比对象的性质. 3.演绎推理是由一般到特殊的推理,数学的证明过程主要是通过演绎推 理进行的,只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确 的,其结论一定是正确的,一定要注意推理过程的正确性与完备性.,方法技巧,例1 (2017河南郑州二模,6)平面内凸四边形有2条对角线,凸五边形有5 条对角线,以此类推,凸13边形对角线的条数为 ( B ) A.42 B.65 C.143 D.169,解题导引 由归纳法找到边数与对角线条数的关系 边数为13时,对角线条数为 2+3+4+11 结论,解析 可以通过列表归纳分析得到.,凸13边形有2+3+4+11= =65条对角线.
6、故选B.,直接证明的方法 1.综合法.它的基本思路是“由因导果”,即从已知看可知,再逐步推向 未知,用P表示已知条件或已有的定义、定理、公理等,Q表示所要证明 的结论,则综合法可以用以下的框图表示: PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ 综合法又叫顺推证法,或者由因导果法,是数学中最常用的证明方法. 2.分析法.在证明过程中,从结论出发的每一步所得到的判断都是结论成 立的充分条件,最后一步归结到已知或已被证明了的事实,这个倒推的 证明方法就是分析法.,例2 (2016浙江,20,15分)设函数f(x)=x3+ ,x0,1.证明: (1)f(x)1-x+x2; (2) f(x) .,证明 (1)因为1-x+x2-x3= = , 由于x0,1,有 ,即1-x+x2-x3 , 所以f(x)1-x+x2. (2)由0x1得x3x,故f(x)=x3+ x+ =x+ - + =+ , 所以f(x) . 由(1)得f(x)1-x+x2= + , 又因为f = ,所以f(x) .,综上, f(x) .,
