1、第六章 数列,高考文数,6.3 等比数列及其前n项和,知识清单,考点一 等比数列的定义及通项公式 1.定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同 一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公 比,公比通常用字母q(q0)表示. 2.等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,且G= (ab0). 3.通项公式:等比数列的通项公式为an=a1qn-1(a1,q0).,考点二 等比数列的性质及其应用 1.等比数列an满足 或 时,an是递增数列; 满足 或 时,an是递减数列. 2.有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,当项数
2、 为奇数时,还等于中间项的平方. 3.等比数列的一些结论: (1)在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成 的新数列仍然是等比数列. (2)若an是等比数列,则an,|an|皆为等比数列,公比分别为q和|q|(为 非零常数).,(3)一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列,新公比是原公 比的k次幂. (4)an为等比数列,若a1a2an=Tn,则Tn, , ,成等比数列. (5)若数列an与bn均为等比数列,则manbn与 仍为等比数列, 其中m是不为零的常数. 4.当q0,q1时,Sn=k-kqn(k0)是an为等比数列的充要条件, 这时k= . 5.对于正整数m,n
3、,p,q,若m+n=p+q,则在等比数列an中,am,an,ap,aq的关系 为aman=apaq. 6.Sn为等比数列an的前n项和,则(S2k-Sk)2=Sk(S3k-S2k).,考点三 等比数列的前n项和公式 Sn=,等比数列的基本运算 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量 a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)所求问题可迎刃而 解,解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式,并能灵活运 用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 例1 (2016安徽皖江名校联考,8)已知Sn是各项为正数的等比数列an 的前n项和,a
4、2a4 =16,S3 =7,则a8= ( C ) A.32 B.64 C.128 D.256,方法技巧,解题导引 由 =a2a4及已知求a3 用a1,q表示a3,S2 求出q 由an0确定q的 值 结论,解析 an为各项均为正数的等比数列,a2a4=16,a3=4,a3=a1q2=4, S3=7,S2= =S3-a3=3, (1-q2)=3(1-q),即3q2-4q-4=0,q=- 或q= 2,an0,q=2,则a1=1,a8=27=128.,等比数列性质的应用策略 若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则aman=apaq. (1)特别地,当m+n=2k(m,n,kN*)时,aman= .
5、 (2)对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项 之积,即a1an=a2an-1=akan-k+1=(nN*). 例2 (2017福建4月模拟,6)已知递增的等比数列an的公比为q,其前n 项和Sn1 C.a10,00,q1,解析 Snan,且|an|an+1|, 则-an-an+10,则q= (0,1), a10,0q1.故选A.,方法总结 an是等比数列,公比为q(q1),熟记下列结论能快速解 题: 当q1,a10或01,a10时,数列an为递减数列.,例3 (2017湖南三湘名校联盟三模,10)一个等比数列an的前三项的积 为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则
6、该数列有( B ) A.13项 B.12项 C.11项 D.10项,解题导引 方法1:用基本量表示出前三项之积和后三项之积 求出 qn-1=2 由 =64求出n 方法2:由已知及等比数列的性质可知a1an=2 由倒序相乘得64=(a1an)2结论,解析 解法一:设首项为a1,公比为q,共有n项. 前三项之积为 q3=2,最后三项之积为 q3n-6=4, 两式相乘得 q3(n-1)=8,即 qn-1=2, 又a1a1qa1q2a1qn-1=64, =64,则( qn-1)n=642, 2n=642,n=12,故选B. 解法二: (a1an)3=8,a1an=2,(a1an)n=2n=642,n=
7、12.,等比数列的判定与证明 1.证明数列是等比数列的两个基本方法 (1) =q(与n值无关的常数)(nN*). (2) =anan+2(nN*). 2.定义不仅能证明一个数列是等比数列,也能判定一个数列不是等比数 列,可通过三个连续项不成等比数列证明,也可以用反证法证明. 例4 (2015广东,19,14分)设数列an的前n项和为Sn,nN*.已知a1=1, a2= ,a3= ,且当n2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1. (1)求a4的值; (2)证明: 为等比数列;,(3)求数列an的通项公式.,解题导引 (1)令n=2,得4S4+5S2=8S3+S1 得a4的值 (2)n2时
8、将原等式化简为4(Sn+2-Sn+1)= 4(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1) an+2=an+1- an(n2) 将n=1代入上式,成立 an+2=an+1- an = 得结论 (3)由(2)得2nan+1-2n-1an=2 2n-1an为等差数列 得an,解析 (1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,即4(a1+a2+a3+a4)+5(a1+a2)=8(a1+a2+a3) +a1,整理得a4= , 又a2= ,a3= ,所以a4= . (2)证明:当n2时,有4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1, 即4Sn+2+4Sn+Sn=4Sn+1+4Sn+1+Sn-1, 所以4(Sn+2-Sn+1)=4(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1), 即an+2=an+1- an(n2). 经检验,当n=1时,上式成立. 因为 = = = 为常数,且a2- a1=1,所以数列 是以1为首项, 为公比的等比数列. (3)由(2)知,an+1- an= (nN*),等式两边同乘2n, 得2nan+1-2n-1an=2(nN*),又20a1=1, 所以数列2n-1an是以1为首项,2为公差的等差数列, 所以2n-1an=2n-1,即an= (nN*). 则数列an的通项公式为an= (nN*).,
