1、第六章 数列,高考文数,6.1 数列的概念及其表示,知识清单,考点一 数列的概念与通项公式 1.数列的概念 按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的简单表示法:列表法、图象法、通项公式法(解析式法).,2.数列的分类 (1)根据数列的项数可以将数列分为两类: 有穷数列项数有限的数列; 无穷数列项数无限的数列. (2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类: 递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列; 递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列; 常数列各项相等的数列; 摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.,3.数
2、列与函数的关系 从函数观点看,数列可以看成以N*(或它的有限子集)为定义域的函数an=f(n), 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反之,对于函数 y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,)有意义,那么我们可以得到一个数列f(1), f(2),f(3), f(n),. 4.数列的通项公式 如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.,考点二 递推公式如果已知数列an的首项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始 的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表 示,那么这个公式叫做数列的递推公
3、式.,考点三 数列前n项和Sn与通项an的关系已知Sn,则an= 数列an中,若an最大,则 若an最小,则,根据数列的前几项求数列通项公式的方法 1.对用图形表示的数列,归纳其通项公式时要抓住以下两点: (1)前后两个图形的数量关系(即递推关系); (2)由递推关系求通项公式(或先求前几项,再归纳出通项公式). 2.对由数组成的数列,归纳其通项公式时要抓住以下几点: (1)将前几项化为相同的结构; (2)利用常见正整数组成的数列推测出项的各部分与项数n的关系; (3)确定项的符号特征; (4)适时运用“因数分解”“1”的技巧. 例1 (2017河南郑州、平顶山、濮阳二模,7)已知数列an满足
4、an+1=an- an-1(n2),a1=m,a2=n,Sn为数列an的前n项和,则S2 017的值为 ( C ),方法技巧,A.2 017n-m B.n-2 017m C.m D.n,解题导引 利用递推公式求出 a1,a2,a8, 得an为周期数列 结论,解析 an+1=an-an-1(n2),a1=m,a2=n, a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n, an+6=an(nN*). 则S2 017=S3366+1=336(a1+a2+a6)+a1=3360+m=m, 故选C.,已知数列的递推公式求通项公式 1.已知数列的递推公式求通项公式,可把每相邻两项的关
5、系列出来,抓住 它们的特点进行适当处理(如拆分、取倒数等),转化为等差数列或等比 数列的通项问题. 2.(1)由形如an+1=an+f(n)的递推公式求通项公式,只要f(n)可求和,便可利 用叠加的方法. 若an满足an+1-an=f(n)(nN*), a2-a1=f(1); a3-a2=f(2); an-an-1=f(n-1)(n2),an-a1=f(1)+f(2)+f(n-1). an=a1+f(1)+f(2)+f(n-1). (2)由形如 =f(n)的递推公式求通项公式,只要f(n)可求积,便可利用累 乘的方法或迭代的方法. 若an满足 =f(n)(nN*),=f(1);=f(2); =
6、f(n-1)(n2), =f(1)f(2)f(n-1), an=a1 f(1)f(2)f(n-1). (3)由形如an+1=Aan+B(A0且A1)的递推公式求通项公式时,可用构造 等比数列法. 对符合an+1=Aan+B(A0且A1)的数列an,求an,可采用以下方法: an+1- =A , 是以A为公比,a1- 为首项的等比数列. an- = An-1. an= An-1+ .,例2 (2016河南洛阳期中模拟,10)设数列an满足a1+2a2+22a3+2n-1an = (nN*),则数列an的通项公式是 ( C ) A.an= B.an= C.an= D.an=,解题导引 构造新数列a
7、n2n-1 设数列2n-1an的 前n项和为Tn 2n-1an=Tn-Tn-1 (n2) 得an(n2) 验证n=1 是否符合 结论,解析 设数列2n-1an的前n项和为Tn, 数列an满足a1+2a2+22a3+2n-1an= (nN*), Tn= ,2n-1an=Tn-Tn-1= - = (n2), an= = (n2), 经验证,当n=1时上式也成立,故an= .,已知数列an的前n项和Sn求an 1.由Sn求an时,要分n=1和n1两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统 一的解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示为an= 2.利用an和Sn的关系,可以消去Sn得到关于an与an-1
8、的关系,也可以消去an得 到Sn与Sn-1之间的关系,前者可直接求出an,后者可求出Sn,然后再利用Sn与 an的关系求an. 例3 (2015课标,16)设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1, 则Sn= .,解题导引 将an+1=Sn+1-Sn代入 - =1 可求Sn,解析 an+1=Sn+1-Sn,Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1=-1,知Sn0, - =1,是等差数列,且公差为-1,而 = =-1, =-1+(n-1)(-1)=-n, Sn=- .,答案 -,例4 (2016甘肃白银会宁一中月考,14)已知数列an的前n项和为Sn,a1= 1,an+1=3Sn,则an= .,解析 由an+1=3Sn,得an=3Sn-1(n2), 两式相减可得an+1-an=3Sn-3Sn-1=3an(n2), an+1=4an(n2),a1=1,a2=3S1=34a1, 数列an从第二项开始是等比数列, an=a2qn-2=34n-2(n2).故an=,答案,
