1、第二章 函数 2.7 函数与方程,高考理数,考点一 函数零点与方程的根 1.函数零点的定义 (1)对于函数y=f(x)(xD),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点. (2)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点. 2.函数零点的判定 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a) f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0, 这个c也就是f(x)=0的根.我们把这一结论称为零点存在性定理.,2.7 函数与方程,知识清单,3.二次函数y=ax2+b
2、x+c(a0)的图象与零点的关系,考点二 二分法1.对于在区间a,b上连续,且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把 函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 从而得到零点近似值的方法,叫做二分法. 2.用二分法求函数零点的近似值的步骤 第一步:确定区间a,b,验证:f(a)f(b)0,给定精确度. 第二步:求区间(a,b)的中点x1. 第三步:计算f(x1). (1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; (2)若f(a)f(x1)0,则令b=x1; (3)若f(x1)f(b)0,则令a=x1.,第四步:判断是否达到精确度:即若|a-b|0)的零点分
3、布 在研究二次函数y=ax2+bx+c(a0)的零点分布问题时,常借助二次函数的 图象来解,一般从四个方面分析:开口方向;对称轴位置;判别式; 端点函数值符号. 研究二次函数零点的分布,一般情况下需要从以下三个方面考虑: 一元二次方程根的判别式; 对应二次函数区间端点函数值的正负; 对应二次函数图象的对称轴x=- 与区间端点的位置关系.,设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实根,则x1,x2的分 布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表:,判断函数零点所在区间和零点的个数的方法 1.判断函数零点所在区间的常用方法 (1)零点存在性定理:使用条件是函数图象是连续的.
4、 (2)数形结合法:画出函数的图象,用估算确定区间. 2.判断函数零点个数的常用方法 (1)解方程法:令f(x)=0,如果有解,则有几个解就有几个零点. (2)函数零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在a,b上的图象是 连续的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性、奇 偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点. (3)数形结合法:转化为两个函数图象的交点的个数问题,有几个交点就 有几个不同的零点.,方法技巧,例1 (2017河北唐山高三摸底考试,8)设x0是方程 = 的解,则x0所在 的范围是 ( B ) A. B. C. D.,解题导引 构造函数f(x)=
5、- 判断f(0), f , f 的符号 确定 零点所在区间,解析 构造函数f(x)= - , 因为f(0)= - =10, f = - = - 0, f = - = - 0,所以由零点 存在性定理可得函数f(x)= - 在 上存在零点,即x0 .故选B.,函数零点的应用 已知函数有零点(方程有根),求参数的值或取值范围常用的方法和思路: (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式 确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数最值问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的 图象,然后数形结合求解. 例2 (2016宁夏育才中学第四次月考,12)已知函数f(x)= (aR),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是 ( D ) A.(-,-1) B.(-,0) C.(-1,0) D.-1,0),解题导引 x0,f(x)=0有一个解 x0,ex=-a有且仅有一个解 a的取值范围,解析 当x0时, f(x)=3x-1有一个零点x= ,所以只需要当x0时,ex+a=0 有且仅有一个根即可,即ex=-a.当x0时,ex(0,1,所以-a(0,1,即a - 1,0),故选D.,
