1、9.8 圆锥曲线的综合问题,高考理数,考点一 定值、定点、最值及范围问题 1.定值问题 (1)解析几何中的定值问题的证明可运用函数的思想方法.证明过程可 总结为“变量函数定值”,具体操作步骤如下: (i)变量选择适当的量为变量; (ii)函数把要证明为定值的量表示成上述变量的函数; (iii)定值把得到的函数解析式化简,消去变量得到定值. (2)求定值问题常见的方法 (i)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (ii)直接推理、计算,并在推理、计算的过程中消去变量,从而得到定值.,知识清单,2.定点问题 (1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立b,k 的
2、等量关系进行消元,借助直线系方程的特点找出定点; (2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明一般情况. 3.求最值问题常见的方法 (1)几何法:题中给出的条件有明显的几何特征,则考虑用图象、性质来 解决. (2)代数法:题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标 函数,再求这个函数的最值.求函数的最值常见的方法有配方法、判别 式法、基本不等式法、单调性法、三角换元法等.,4.求定值、最值等圆锥曲线综合问题要四重视: (1)重视定义在解题中的作用; (2)重视平面几何知识在解题中的作用; (3)重视根与系数的关系在解题中的作用; (4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用.
3、5.求参数的取值范围:根据已知条件建立函数或不等式,再求参数的范 围.,考点二 存在性问题 有关直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,一般是先假设存在满 足题意的元素,经过推理、论证,如果得到可以成立的结果,就可以作出 存在的结论;若得到与已知条件、定义、公理、定理等相矛盾的结果, 则说明假设不成立.,与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题有以下两种解法: (1)代数法:将圆锥曲线中的最值或取值范围问题转化为函数问题(即根 据条件列出所求的目标函数),再求这个函数的最值或取值范围,常从以 下五个方面考虑: 利用判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围; 利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问
4、题的核心是在每个 参数之间建立等量关系; 利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; 利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围; 用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.,与圆锥曲线相关的最值、范围问题的解题方法,方法技巧,(2)几何法:若问题的条件和结论能明显地体现曲线的几何特征,则利用 图形的性质和数形结合思想来解决最值或取值范围问题. 例1 若点O和点F分别为椭圆 + =1的中心和左焦点,点P为椭圆上 的任一点,则 的最小值为 .,解题导引,解析 点P为椭圆 + =1上的任意一点,设P(x,y)(-3x3,-2 y 2 ),依题意得左焦点F的坐标为(-1,0),
5、=(x,y), =(x+1,y), =x(x+1)+y2=x2+x+ = + . -3x3, x+ , , ,6 + 12,即6 12.,故所求最小值为6.,答案 6,评析 本题在平面向量与解析几何的交汇点处设题,考查了椭圆的方 程、向量的坐标运算以及利用不等式和函数求最值的基本方法.,(1)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值或 定点. (2)从特殊入手,求出定值或定点,再证明这个值或点的坐标与变量无关. 例2 (2017课标全国,20,12分)已知椭圆C: + =1(ab0),四点P1(1, 1),P2(0,1),P3 ,P4 中恰有三点在椭圆C上. (1)求C的方程
6、; (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜 率的和为-1,证明:l过定点.,圆锥曲线中的定值、定点问题的解题方法,解题导引,解析 (1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点. 又由 + + 知,C不经过点P1,所以点P2在C上. 因此 解得 故C的方程为 +y2=1. (2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2. 如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t0,且|t|2,可得A,B的坐标分别为 , . 则k1+k2= - =-1,得t=2,不符合题设.,从而可设l:y=kx+m(m1).将y=kx+m代入 +y2=1得
7、 (4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0. 由题设可知=16(4k2-m2+1)0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=- ,x1x2= . 而k1+k2= + = + = , 由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0. 即(2k+1) +(m-1) =0.,解得k=- . 当且仅当m-1时,0,于是l:y=- x+m, 即y+1=- (x-2), 所以l过定点(2,-1).,方法总结 求解轨迹方程的步骤:建系、设点列式(列出动点所 满足的几何等量关系式)坐标化(选用合适的公式表示几何等量关 系)化简(注意化简前后的等价性)检验(去伪
8、存真).,1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件,则可先假设 条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在;若探究结论,则 应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的 讨论. 2.反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法. 例3 (2017湘中名校联考,20,12分)如图,曲线C由上半椭圆C1: + =1 (ab0,y0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y0)连接而成,C1与C2的公共点 为A,B,其中C1的离心率为 . (1)求a,b的值;,存在性问题的解题策略,(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),是否存在直线l
9、, 使得以PQ为直径的圆恰好过点A?若存在,求出直线l的方程;若不存在, 请说明理由.,解题导引,解析 (1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1, 且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点. 由e= = 及a2-c2=b2=1可得a=2, a=2,b=1. (4分) (2)存在.由(1)知,上半椭圆C1的方程为 +x2=1(y0). 由题易知,直线l与x轴不重合也不垂直, 设其方程为y=k(x-1)(k0). 代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*) 设点P的坐标为(xP,yP), 直线l过点B,x=1是方程(*)的一个根.,由求根公式,得xP= , 从而yP= , 点P的坐标为 . 同理,由 得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k). (8分) = (k,-4), =-k(1,k+2). 连接AP、AQ,依题意可知APAQ, =0, 即 k-4(k+2)=0, k0,k-4(k+2)=0,解得k=- . (10分) 经检验,k=- 符合题意, 故直线l的方程为y=- (x-1). (12分),
