1、9.6 抛物线及其性质,高考理数,考点一 抛物线的定义及其标准方程 平面内到一个定点F和一条定直线l(Fl)距离相等的点的轨迹叫 做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 ,直线l叫做抛物线的 准线 ,抛物线关于过焦点F且与准线垂直的直线对称,这条直线叫抛物线的 对称轴,简称抛物线的轴. 在抛物线中,记焦点F到准线l的距离为p,以抛物线的焦点F到准线l的垂 线段的中点为坐标原点,以抛物线的轴为坐标轴建立坐标系,可以得到 抛物线的四种不同形式的标准方程y2=2px,x2=2py,其中p0.,知识清单,考点二 抛物线的几何性质,考点三 直线与抛物线的位置关系 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题,要
2、注意利用根与 系数的关系,避免求交点坐标的复杂运算.解决焦点弦问题时,抛物线的 定义有广泛的应用,而且还应注意焦点弦的几何性质. 焦点弦及其性质 设AB为过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则(1)x1x2= ; (2)y1y2=-p2;(3)弦长|AB|=x1+x2+p= (为直线AB的倾斜角);(4)SAOB=;(5) + = ;(6)以弦AB为直径的圆与准线相切;(7)以AF为 直径的圆与y轴相切;(8)焦点F对A,B在准线上射影的张角为90.,【知识拓展】 1.点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p0)的位置关系 (1)点P(x0,y0)在
3、抛物线内 2px0. 2.若AB是抛物线x2=2py(p0)的任意一条焦点弦,分别过A,B作抛物线的 切线,交于点P,则 (1)P的轨迹为准线y=- ; (2)PAPB; (3)PFAB; (4)xP= .,1.定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,从而确定p的值,得到抛物 线的标准方程. 2.待定系数法 (1)根据抛物线焦点在x轴上还是y轴上,设出相应形式的标准方程,然后 根据条件确定关于p的方程,解出p,从而写出抛物线的标准方程. (2)当焦点位置不确定时,有两种方法解决: 一种是分情况讨论,注意要对四种形式的标准方程进行讨论,对于焦点 在x轴上的抛物线,为避免开口方向不确定而分为y2=
4、2px(p0)或y2=-2px (p0)两种情况求解.另一种是设成y2=mx(m0),若m0,则开口向右;若m 0,则开口向左,m有两个解,则抛物线的标准方程有两个.同理,焦点在y,求抛物线的标准方程的方法,方法技巧,轴上的抛物线可以设成x2=my(m0). 例1 (2017河北六校模拟,14)抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点O是坐 标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36,则抛 物线的方程为 .,解题导引,解析 设满足题意的圆的圆心为M. 根据题意可知圆心M在抛物线上, 又圆的面积为36, 圆的半径为6,则|MF|=xM+ =6,即xM=6- , 又由题意可
5、知xM= , =6- ,解得p=8. 抛物线方程为y2=16x.,答案 y2=16x,抛物线是到定点和定直线距离相等的点的轨迹,利用该定义可有效地实 现抛物线上的点到焦点和到准线的距离的转化,将有利于问题的解决. 解题时要充分利用定义,多关注焦点和准线. 例2 (2016广东广州3月模拟,6)如果P1,P2,Pn是抛物线C:y2=4x上的点, 它们的横坐标依次为x1,x2,xn,F是抛物线C的焦点,若x1+x2+xn=10,则 |P1F|+|P2F|+|PnF|= ( A ) A.n+10 B.n+20 C.2n+10 D.2n+20,抛物线定义的应用策略,解题导引,解析 由抛物线的方程y2=
6、4x可知其焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,由抛 物线的定义可知|P1F|=x1+1,|P2F|=x2+1,|PnF|=xn+1,所以|P1F|+|P2F|+ +|PnF|=x1+1+x2+1+xn+1=(x1+x2+xn)+n=n+10.故选A.,评析 掌握抛物线的定义是解题的关键.,1.设直线l:y=kx+b,抛物线y2=2px(p0),直线与抛物线交点的个数等价于 方程组 解的个数,也等价于方程ky2-2py+2bp=0解的个数. 当k0时,若0,则直线和抛物线相交,有两个公共点;若=0,则直线 和抛物线相切,有一个公共点;若0)相交,有一个公共点.特别地,当 直线l的斜率不存在时
7、,设l:x=m,则当m0时,l与抛物线相交,有两个公共 点;当m=0时,l与抛物线相切,有一个公共点;当m0时,l与抛物线相离,无 公共点.,解决直线与抛物线位置关系问题的方法,2.直线与抛物线相离(无交点)时,常求抛物线上的点到此直线的距离的 最小值.方法有两种,一是将距离d写成一个变量的函数,利用函数求之, 二是利用切线法求. 3.相切时,求切线斜率,一种方法是利用=0求,另一种方法是利用导数 求. 例3 (2017河北衡水中学调研,15)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,过 F的直线l与抛物线交于A、B两点,且|AF|=4|FB|,O为坐标原点,若AOB 的面积为 ,则p= .,
8、解题导引,解析 易知抛物线y2=2px的焦点F的坐标为 ,准线为x=- ,不妨设 点A在x轴上方,如图,过A、B作准线的垂线AA,BB,垂足分别为A,B,过点 B作BHAA,交AA于H,则|BB|=|AH|,设|FB|=t,则|AF|=|AA|=4t,|AH|=|AA|-|AH|=3t, 又|AB|=5t,在RtABH中,cosHAB= ,tanHAB= ,则可得直线AB的方程为y= . 由 得8x2-17px+2p2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|=x1+x2+p= p+p= p, 易知点O到直线AB的距离为d=|OF|sinAAB= = p.SAOB= p p= = , p2=1,又p0,p=1.,答案 1,
