1、第九章 平面解析几何,高考文数,考点一 定点与定值问题1.定点问题 解析几何中证明直线过定点,一般是先选择一个参数建立直线系方程, 然后再根据直线系方程过定点时方程的成立与参数没有关系得到一个 关于x,y的方程组,以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.2.定值问题 (1)解析几何中的定值问题的证明可运用函数的思想方法.证明过程可 总结为“变量函数定值”,具体操作步骤如下:,9.6 圆锥曲线的综合问题,知识清单,(i)变量选择适当的量为变量; (ii)函数把要证明为定值的量表示成上述变量的函数; (iii)定值把得到的函数解析式化简,消去变量得到定值. (2)求定值问题常见的方法 (i)
2、从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (ii)直接推理、计算,并在推理、计算的过程中消去变量,从而得到定值.,考点二 参变量的取值范围与最值问题1.求最值问题常见的方法 (1) 几何法 :若题中给出的条件有明显的几何特征,则考虑用图 象、性质来解决. (2) 代数法 :若题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以 建立目标函数,再求这个函数的最值.求函数的最值常见的方法有配方 法、判别式法、基本不等式法、单调性法、三角换元法等.2.求定值、最值等圆锥曲线综合问题的四重视 (1)重视定义在解题中的作用; (2)重视平面几何知识在解题中的作用; (3)重视根与系数的关系在解题中的作用;
3、,(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用.3.求参数的取值范围 根据已知条件建立关于参数的等式或不等式,再求参数的范围. 考点三 存在性问题1.存在性问题的解题步骤 (1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参数的方程或不等 式(组). (2)解此方程或不等式(组),若有解,则存在,若无解,则不存在.2.解答此类问题要充分注意解题的规范性.,知识拓展求有关圆锥曲线的最值问题时应注意以下几点: (1)圆锥曲线上本身存在最值问题,如(i)椭圆上两点间最大距离为2a(长 轴长);(ii)双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长);(iii)椭圆的焦半径的取 值范围为a-c,a+c
4、,a-c与a+c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最短与最长距离;(iv)抛物线的顶点与抛物线的准线距离最近. (2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题,常把两点间的距离转化 为区间上的二次函数的最值问题,有时也用圆锥曲线的参数方程转化为 三角函数的最值问题解决.,(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线 法. (4)当点在圆锥曲线上时,求相关式子(目标函数)的取值范围,常把参数 方程代入转化为三角函数的最值问题,或根据平面几何知识,或引入一 个参数(有几何意义)转化为函数进行处理. (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系,求直线方程中或圆锥曲线方 程中某个参数(系数
5、)满足的范围,解决方法是把所求参数转化为关于另一变元的函数求解.,圆锥曲线中的定点、定值问题的求解方法 1.圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关,如 椭圆的长、短轴的长,双曲线的虚、实轴的长,抛物线的焦参数等,可通 过直接计算求解,也可用“特殊位置法”和“相关曲线系数”求解. 2.解决定点、定值问题常用的思想有两种:从特殊入手,求含参变量的 定点、定值,再证明这个定点、定值与变量无关;直接推理计算,并在 计算的过程中消去变量,从而得到定点、定值. 例1 (2016北京,19,14分)已知椭圆C: + =1过A(2,0),B(0,1)两点. (1)求椭圆C的方程及离心率; (
6、2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB 与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.,方法技巧,解题导引 (1)由点A,B的坐标得a,b的值 得椭圆C的方程与离心率 (2)设出点P的坐标,写出直线PA和直线PB的方程 分别求出M,N两点 的纵、横坐标,写出BM与AN的长度 表示出四边形的面积S 化 简,确定S的值为定值,解析 (1)由题意得,a=2,b=1. 所以椭圆C的方程为 +y2=1. (3分) 又c= = , 所以离心率e= = . (5分) (2)证明:设P(x0,y0)(x00,y00),则 +4 =4. (6分) 又A(2,0),B(0,1)
7、, 所以,直线PA的方程为y= (x-2). 令x=0,得yM=- ,从而|BM|=1-yM=1+ . (9分) 直线PB的方程为y= x+1.,令y=0,得xN=- , 从而|AN|=2-xN=2+ . (12分) 所以四边形ABNM的面积 S= |AN|BM| = = = =2. 从而四边形ABNM的面积为定值. (14分),例2 (2017山西临汾一中月考,20)已知椭圆C: +y2=1(a0),过椭圆C的 右顶点和上顶点的直线与圆x2+y2= 相切. (1)求椭圆C的方程; (2)设M是椭圆C的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆C于A,B两点, 设这两条直线的斜率分别为k1,k2
8、,且k1+k2=2,证明:直线AB过定点.,解题导引 (1)由(a,0)和(0,1)直线方程 利用直线与圆 相切求得a2 得椭圆C的方程 (2)当直线AB的斜率不存在时,求出A,B两点的横坐标 当直线AB的 斜率存在时,设出直线AB的方程 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立椭圆方程,得 x1+x2与x1x2 利用斜率公式表示出k1+k2=2,从而得出k与m的关系 代入直线AB的方程 得出直线AB过的定点,解析 (1)直线过点(a,0)和(0,1),直线的方程为x+ay-a=0,直线与 圆x2+y2= 相切, = ,解得a2=2,椭圆C的方程为 +y2=1. (2)证明:当直线AB的斜率
9、不存在时,设A(x0,y0),则B(x0,-y0),由k1+k2=2得 + =2,解得x0=-1.当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=kx +m(m1),A(x1,y1),B(x2,y2), 由 (1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,得x1+x2= ,x1x2= , 由k1+k2=2 + =2 =2, 即(2-2k)x1x2=(m-1)(x1+x2)(2-2k)(2m2-2)=(m-1)(-4km),即(1-k)(m2-1)=-km(m-1),由m1,得(1-k)(m+1)=-kmk=m+1, 所以y=kx+m=(m+1)x+mm(x+1)=y-x, 故直线AB过定点(-1,-1
10、). 综上,直线AB过定点(-1,-1).,圆锥曲线中的最值和范围问题的求解方法 1.几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用 图形性质来解决,此法称为几何法. 2.代数法:根据题目构造关于变量的等式或不等式,从而采用方程思想或 函数思想求解最值或范围的方法称为代数法.利用代数法解决最值和范 围问题的常见思路:利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的范 围;利用已知参数范围,求新参数的范围,解决这类问题的核心为构建 所求变量与已知变量的函数关系式;利用隐含的不等关系建立不等 式,从而求出所需要的参数范围;利用已知的不等关系构造不等式,从 而求出参数的取值范围;利用函数的值
11、域,确定参数的取值范围.,例3 (2017浙江,21,15分)如图,已知抛物线x2=y,点A ,B ,抛 物线上的点P(x,y) .过点B作直线AP的垂线,垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围; (2)求|PA|PQ|的最大值.,解题导引 (1)设直线AP的斜率为k 由斜率公式及抛物线 方程表示斜率k 由x的范围得k的取值范围 (2)解法一:联立直线AP与直线BQ的方程 得Q点的横坐标 利用距离公式表示出 |PA|与|PQ| 利用函数思想及导数有关知识 求得|PA|PQ|的最大值 解法二:连接BP,将|AP|PQ|转化为 - 利用坐标表示出 与 ,从而将|AP|PQ|转化为关于x的函数
12、利用导数的相关知识 求得|AP|PQ|的最大值,解析 (1)设直线AP的斜率为k,k= =x- , 因为- x ,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1). (2)解法一:联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是xQ= . 因为|PA|= = (k+1), |PQ|= (xQ-x)=- ,所以|PA|PQ|=-(k-1)(k+1)3, 令f(k)=-(k-1)(k+1)3.因为f (k)=-(4k-2)(k+1)2, 所以f(k)在区间 上单调递增,在 上单调递减,因此当k= 时, |PA|PQ|取得最大值 . 解法二:如图,连接BP,|AP|PQ|=|AP|PB|cosBPQ= ( -
13、)= - .,易知P(x,x2) , 则 =2x+1+2x2- =2x2+2x+ , = + =x2+x+ +x4- x2 + =x4+ x2+x+ . |AP|PQ|=-x4+ x2+x+ . 设f(x)=-x4+ x2+x+ , 则f (x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2, f(x)在 上为增函数,在 上为减函数, f(x)max=f(1)= .,故|AP|PQ|的最大值为 .,方法总结 在解析几何中,遇到求两线段长度之积的最值或取值范围时,一般用以下方法进行转化. 1.直接法:求出各点坐标,用两点间的距离公式,转化为某个参变量(如直 线斜率、截距、点的横、纵坐标等)的函
14、数,再求函数的最值或值域. 2.向量法:三点共线时,转化为两向量的数量积,再转化为动点的横(或纵) 坐标的函数,最后求函数的最值或值域. 3.参数法:把直线方程化为参数方程,与曲线方程联立,由韦达定理转化 为直线的斜率(或直线的截距)的函数,最后求函数的最值或值域.,圆锥曲线中存在性问题的求解方法 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种,若探究条件,则可先假设 条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在.若探究结论,则 应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论. 例4 (2017湘中名校联考,20)如图,曲线C由上半椭圆C1: + =1(ab0,y0)和部分
15、抛物线C2:y=-x2+1(y0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为 . (1)求a,b的值; (2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),是否存在直线l,使得以PQ为直径的圆恰好过点A?若存在,求出直线l的方程;若不存在, 请说明理由.,解题导引 (1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得出b的值由e= = 及 a2-c2=b2可得a的值 (2)设出直线l的方程分别与两曲线方程联立,并消元, 用l的斜率k表示点P,Q的坐标利用 =0 求得k的值写出符合条件的直线方程,解析 (1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1, 故A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点. 由e= = 及a2-c2=b2=1可得a=2,a=2,b=1. (2)存在.由(1)知,上半椭圆C1的方程为 +x2=1(y0). 由题易知,直线l与x轴不重合也不垂直, 设其方程为y=k(x-1)(k0). 代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*) 设点P的坐标为(xP,yP), 直线l过点B,x=1是方程(*)的一个根. 由求根公式,得xP= ,从而yP= ,
