1、第九章 平面解析几何,高考文数,9.5 抛物线及其性质,知识清单,考点一 抛物线的定义及性质1.抛物线的定义及性质,2.点P(x0,y0)和抛物线y2=2px(p0)的关系 (1)P在抛物线内(含焦点) 2px0. 3.焦半径:抛物线上的点P(x0,y0)与焦点F的距离称作焦半径,记作r=|PF|. (1)y2=2px(p0),r=x0+ ; (2)y2=-2px(p0),r=-x0+ ; (3)x2=2py(p0),r=y0+ ; (4)x2=-2py(p0),r=-y0+ .,考点二 直线与抛物线的位置关系 1.AB为抛物线y2=2px(p0)的焦点弦,A(x1,y1),B(x2,y2).
2、 (1)x1x2= ; (2)y1y2=-p2; (3)弦长|AB|=x1+x2+p, x1+x22 =p,当且仅当x1=x2时,弦长|AB|最短,最小长度为2p; (4)弦长|AB|= (为AB的倾斜角). (5)若直线AB的倾斜角为,且A位于x轴上方,B位于x轴下方,则|AF|= , |BF|= ; (6)SAOB= (其中为直线AB的倾斜角);,(7) + = ; (8)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切; (9)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切. 2.AB为抛物线y2=2px(p0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),设直线AB 的斜率k存在,且k0.
3、 (1)弦长|AB|=|x1-x2| =|y1-y2| ; (2)k= ; (3)直线AB的方程为y-y0= (x-x0); (4)弦AB的垂直平分线方程为y-y0=- (x-x0).,知识拓展1.如图所示,AB是抛物线x2=2py(p0)的过焦点的一条弦(焦点弦),分 别过A,B作抛物线的切线,交于点P,连接PF,则有以下结论:,(1)点P的轨迹是一条直线,为抛物线的准线l:y=- ; (2)两切线互相垂直,即PAPB; (3)PFAB; (4)点P的坐标为 . 2.非焦点弦性质 (1)已知直线l与抛物线y2=2px(p0)交于A、B两点,若OAOB,则直线l过 定点(2p,0),反之亦成立
4、; (2)已知M(x0,y0)是抛物线y2=2px(p0)上任意一点,点N(a,0)是抛物线的对 称轴上一点,则|MN|min=,求抛物线标准方程的方法 1.定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,利用抛物线的定义确定轨 迹类型,从而确定p的值,得到抛物线的标准方程. 2.待定系数法:根据条件设出标准方程,再确定p的值,这里应注意抛物线 的标准方程有四种形式.从简单化角度出发,焦点在x轴上的,设为y2=ax(a 0),焦点在y轴上的,设为x2=ay(a0). 例1 (2017河北六校模拟,14)抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点O是坐 标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该
5、圆的面积为36,则抛 物线的方程为 .,方法技巧,解题导引 由抛物线定义知圆心 M在抛物线上利用圆的面积得|MF|=6以点M的横坐标为桥梁建立 关于p的方程解方程,得结论,解析 设满足题意的圆的圆心为M. 根据题意可知圆心M在抛物线上, 又圆的面积为36, 圆的半径为6,则|MF|=xM+ =6,即xM=6- , 又由题意可知xM= , =6- ,解得p=8. 抛物线方程为y2=16x.,答案 y2=16x,例2 (2017福建福州模拟,14)函数y=ax-1(a0且a1)的图象恒过点P,则 焦点在x轴上且过点P的抛物线的标准方程是 .,解题导引 利用指数函数的图象及性质求出点P的坐标 设出抛
6、物线 的方程,代入点的坐标 求得结论,解析 设抛物线的方程为y2=mx(m0),由题意知点P的坐标为(1,1),代入 y2=mx,可得m=1,焦点在x轴上且过点P的抛物线的标准方程是y2=x.,答案 y2=x,利用抛物线的定义解决有关问题的方法 抛物线是到定点和定直线的距离相等的点的轨迹,利用抛物线的定义解 决问题,应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等 价转化.“看到准线想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决抛物 线焦点弦有关问题的有效途径. 例3 (2017河南天一大联考(二),6)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该 抛物线上的两点,且|AF|+|BF|=3,则线
7、段AB的中点到y轴的距离为( C ) A. B.1 C. D.,解题导引 利用抛物线的定义将|AF|+|BF|=3转化 成线段AB两端点到准线的距离和 得到线段AB的中点到y轴的距离,解析 如图所示,设抛物线的准线为l,AB的中点为M,作AA1l于A1, BB1l于B1,MM1l于M1,由抛物线的方程知p= ,由抛物线定义知|AA1|+|BB1| =|AF|+|BF|=3,所以点M到y轴的距离为|MM1|- = (|AA1|+|BB1|)- = 3- = ,故选C.,例4 (2017课标全国,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为 的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线
8、,点N在l上且MNl,则M 到直线NF的距离为 ( C ) A. B.2 C.2 D.3,解题导引 由抛物线定义得|MN|=|MF| MNF为等边三角形 由等边三角形 性质得M到直线NF的距离,解析 如图,因为直线MF的斜率为 , 所以直线MF的倾斜角为60,则FMN=60. 由抛物线的定义得|MF|=|MN|, 所以MNF为等边三角形. 过F作FHMN,垂足为H. 易知F(1,0),l的方程为x=-1, 所以|OF|=1,|NH|=2,所以|MF|= +2,即|MF|=4, 所以M到直线NF的距离d=|FH|=|MF|sin 60=4 =2 .故选C.,与直线和抛物线位置关系有关问题的求解方
9、法 1.直线和抛物线的位置关系有三种:相交、相切、相离.判断方法有:把 直线方程和抛物线方程联立,若得到的是一元二次方程,则:若方程的 判别式0,则直线与抛物线相交;若方程的判别式=0,则直线与抛物 线相切;若方程的判别式0,则直线与抛物线相离.若得到的是一元 一次方程,则直线与抛物线交于一点,此时直线与对称轴平行(或重合). 2.直线与抛物线相交时,常采用根与系数关系和点差法求解;直线与抛物 线相离时,常考查最值问题,利用数形结合法进行求解;直线和抛物线相 切时,切线的斜率可以用导数求解. 3.当求解直线与抛物线相交的弦长问题时,利用弦长公式|AB|= = (k为直线的斜率,k0)进行求解.
10、,例5 (2017课标全国,20,12分)设A,B为曲线C:y= 上两点,A与B的横 坐标之和为4. (1)求直线AB的斜率; (2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直 线AB的方程.,解题导引 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2) 利用点差法及斜率公式求得AB的斜率 (2)利用导数几何意义 得点M的坐标 设出直线AB的方程, 联立抛物线方程 由弦长公式得|MN|及|AB| 由|AB|=2|MN|得直线 AB方程中的参数 直线AB的方程,解析 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1x2,y1= ,y2= ,x1+x2=4, 于是直线AB的斜率k= = =1. (2)由y= ,得y= , 设M(x3,y3),由题设知 =1, 解得x3=2,于是M(2,1). 设直线AB的方程为y=x+m, 故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|. 将y=x+m代入y= 得x2-4x-4m=0.,当=16(m+1)0,即m-1时,x1,2=22 . 从而|AB|= |x1-x2|=4 . 由题设知|AB|=2|MN|, 即4 =2(m+1),解得m=7. 所以直线AB的方程为y=x+7.,
