1、考点 圆的方程 1.圆的标准方程 (1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)表示圆心为 (a,b) ,半径为r的圆的标准 方程; (2)特别地,以原点为圆心,r(r0)为半径的圆的标准方程为x2+y2=r2. 2.圆的一般方程 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为 + = .故有: (1)当D2+E2-4F0时,方程表示以 为圆心,以,知识清单,为半径的圆; (2)当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点 ; (3)当D2+E2-4Fr2,则点P在圆外; (2)若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,则点P在圆上; (3)若(x0-a)2+(y0-b)2r2,则点P在 圆内 .,
2、1.方程选择原则 求圆的方程时,如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐 标列方程,常选用标准方程;如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关 系,常选用一般方程. 2.求圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤如下: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; (3)解出a,b,r或D,E,F代入标准方程或一般方程.,求圆的方程的方法,方法技巧,3.求圆的方程时常用到的圆的几个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线. 4.常
3、见圆的方程的设法 圆心在原点,标准方程:x2+y2=r2; 一般方程:x2+y2-r2=0. 过原点,标准方程:(x-a)2+(y-b)2=a2+b2; 一般方程:x2+y2+Dx+Ey=0. 圆心在x轴上,标准方程:(x-a)2+y2=r2; 一般方程:x2+y2+Dx+F=0. 圆心在y轴上,标准方程:x2+(y-b)2=r2;,一般方程:x2+y2+Ey+F=0. 与x轴相切,标准方程:(x-a)2+(y-b)2=b2; 一般方程:x2+y2+Dx+Ey+ D2=0. 与y轴相切,标准方程:(x-a)2+(y-b)2=a2; 一般方程:x2+y2+Dx+Ey+ E2=0. 例1 (201
4、7广东七校联考,14)一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且 在直线y=x上截得的弦长为2 ,则该圆的方程为 .,解题导引,解析 解法一:所求圆的圆心在直线x-3y=0上, 设所求圆的圆心为(3a,a), 又所求圆与y轴相切,半径r=3|a|, 又所求圆在直线y=x上截得的弦长为2 ,圆心(3a,a)到直线y=x的距离d = , d2+( )2=r2,即2a2+7=9a2,a=1. 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9. 解法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到直线y=x的距离 为 ,r2= +7,即2r2=
5、(a-b)2+14. 由于所求圆与y轴相切,r2=a2,又所求圆的圆心在直线x-3y=0上,a-3b=0, 联立,解得 或 故所求圆的方程为(x+3)2+(y+1)2=9或(x-3)2+(y-1)2=9. 解法三:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为 ,半径r= . 在圆的方程中,令x=0,得y2+Ey+F=0. 由于所求圆与y轴相切,=0,则E2=4F. 圆心 到直线y=x的距离为d= ,由已知得d2+( )2=r2,即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F). 又圆心 在直线x-3y=0上,D-3E=0. 联立,解得 或 故所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+
6、1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.,答案 x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0,涉及与圆有关的最值问题,一般要借助图形性质,利用数形结合和函数 思想求解,一般地: (1)形如u= 型的,转化为直线斜率的最值问题求解; (2)形如t=ax+by型的,转化为动直线截距的最值问题求解; (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2型的,转化为两点间的距离平方的最值问题求解. 例2 已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求 的最大值和最小值; (2)求y-x的最大值和最小值; (3)求x2+y2的最大值和最小值.,解决与圆有关的最值问题的方法,解题导引,解
7、析 (1)原方程化为(x-2)2+y2=3,表示以点(2,0)为圆心, 为半径的圆. 设 =k,则y=kx,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最值,此时有 = , 解得k= ,故 的最大值为 ,最小值为- . (2)设y-x=b,则y=x+b,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最值,此时 = ,解得b=-2 .所以y-x的最大值为-2+ ,最小值为-2- . (3)x2+y2表示圆上一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在过原点 与圆心的直线和圆的两个交点处取得最值. 又圆心到原点的距离为2, 所以x2+y2的最大值是(2+ )2=7+4 , x2+y2的最小值是(2- )2=7-4 .,
