1、第三章 导数及其应用,高考文数,考点 导数的应用1.函数的单调性 对于在(a,b)内的可导函数f(x),若f (x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0, 则 f (x)0f(x)为增函数,区间(a,b)为函数f(x)的增区间; f (x)0f(x)为减函数,区间(a,b)为函数f(x)的减区间.2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地,当函数f(x)在点x0处连续时, (i)如果在x0的左侧附近f (x)0,右侧附近f (x)0,那么 f(x0)是极小值.,3.2 导数的应用,知识清单,(2)求可导函数极值的步骤 (i)求f (x); (ii)求方程f (x)=0的根; (
2、iii)检查f (x)在方程f (x)=0的根的左、右值的符号.如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小 值.3.函数的最值 (1)若函数f(x)在a,b上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最 大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的 最小值. (2)设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在a,b上的最大值和最,小值的步骤如下: (i)求f(x)在(a,b)内的极值; (ii)将f(x)的各极值与f(a)、 f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的 一个是
3、最小值. (3)如果函数y=f(x)在闭区间a,b上连续,那么函数y= f(x)在a,b上必有 最大值和最小值,函数的最大值和最小值一定产生在极值点或闭区间的 端点处. 知识拓展1.f (x)0是f(x)在(a,b)上为增函数的充分不必要条件,同理,f (x)0 是f(x)在(a,b)上为减函数的充分不必要条件,例如,f(x)=x3在R上单调递 增,但f (0)=0.,2.对可导函数而言,极值点处的导数值一定为0,但导数为0的点不一定是 极值点.例如, f(x)=x3,当x=0时, f (0)=0,但x=0不是极值点,因此判断极值 一般用定义法. 3.极值与最值的区别 极值是局部概念,是针对x
4、=x0附近的值而言的,最值是整体概念,是针对 整个定义域而言的.,利用导数研究函数的单调性 确定函数单调性的基本步骤 确定函数f(x)的定义域. 求导数f (x). 由f (x)0(或f (x)0时, f(x)在相应 区间上是单调递增函数;当f (x)0时, f(x)在相应区间上是单调递减函 数.还可以通过列表写出函数的单调区间.,方法技巧,例1 (2016课标全国,21,12分)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.,解析 (1)f (x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a). (i
5、)设a0,则当x(-,1)时, f (x)0.所以f(x)在 (-1)上单调递减,在(1,+)上单调递增. (2分) (ii)设a- ,则ln(-2a)0;当x(ln(-2a),1)时,f (x)1,故当x(-,1)(ln(-2a),+)时, f (x)0; 当x(1,ln(-2a)时, f (x)0.,所以f(x)在(-,1),(ln(-2a),+)上单调递增, 在(1,ln(-2a)上单调递减. (6分) (2)(i)设a0,则由(1)知, f(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增. 又f(1)=-e, f(2)=a,取b满足b (b-2)+a(b-1)2=a 0, 所以f(
6、x)有两个零点. (8分) (ii)设a=0,则f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一个零点. (9分) (iii)设a0,若a- ,则由(1)知, f(x)在(1,+)上单调递增, 又当x1时,f(x)0,故f(x)不存在两个零点; (10分) 若a- ,则由(1)知, f(x)在(1,ln(-2a)上单调递减,在(ln(-2a),+)上单调递增,又当x1时,f(x)0, 故f(x)不存在两个零点. (11分) 综上,a的取值范围为(0,+). (12分),利用导数研究函数的极值与最值 1.解决函数极值问题的一般思路,例2 (2015课标,21,12分)已知函数f(x)=ln x+a(
7、1-x). (1)讨论f(x)的单调性; (2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.,解题导引 (1)求定义域及f (x) 对a分类讨论,判断 f (x)的符号 结论 (2)用第(1)问的结论, 对a分类讨论 a0时,求出f(x)的 最大值为f f 2a-2等价于 ln a+a-10 构造函数g(a)=ln a+a-1 利用g(a)的单调性求出a的取 值范围,解析 (1)f(x)的定义域为(0,+), f (x)= -a. 若a0,则f (x)0,所以f(x)在(0,+)上单调递增. 若a0,则当x 时, f (x)0;当x 时,f (x)0时,f(x)在x= 处取 得
8、最大值,最大值为f =ln +a =-ln a+a-1. 因此f 2a-2等价于ln a+a-10. 令g(a)=ln a+a-1, 则g(a)在(0,+)上单调递增,g(1)=0.,于是,当01时,g(a)0. 因此,a的取值范围是(0,1).,例3 (2016山东,20,13分)设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,aR. (1)令g(x)=f (x),求g(x)的单调区间; (2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.,解题导引 (1)求f (x),从而求出g(x) 求出g(x)= 对a分类讨论,确定 g(x)的符号 结论 (2)利用(1)的结论知f (x)的单
9、调性 对a分类讨论,确定f (x) 在各个区间的符号 利用f(x)在x=1处取得 极大值求a的取值范围,解析 (1)由f (x)=ln x-2ax+2a, 可得g(x)=ln x-2ax+2a,x(0,+). 则g(x)= -2a= . 当a0时,x(0,+)时,g(x)0,函数g(x)单调递增; 当a0时,x 时,g(x)0,函数g(x)单调递增, x 时,函数g(x)单调递减. 所以当a0时,g(x)的单调增区间为(0,+); 当a0时,g(x)的单调增区间为 ,单调减区间为 . (2)由(1)知, f (1)=0.,当a0时, f (x)单调递增, 所以当x(0,1)时, f (x)0, f(x)单调递增. 所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意. 当01,由(1)知f (x)在 内单调递增,可得当x(0,1)时, f (x)0. 所以f(x)在(0,1)内单调递减,在 内单调递增, 所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意. 当a= 时, =1, f (x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减, 所以当x(0,+)时, f (x)0, f(x)单调递减,不合题意. 当a 时,00, f(x)单调递增, 当x(1,+)时, f (x) .,
