1、5.3.2 空间中的垂直与几何体的体积,-2-,考向一,考向二,考向三,考向四,垂直关系的证明 例1(2018北京卷,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PEBC; (2)求证:平面PAB平面PCD; (3)求证:EF平面PCD.,-3-,考向一,考向二,考向三,考向四,证明 (1)PA=PD,且E为AD的中点, PEAD. 底面ABCD为矩形, BCAD, PEBC. (2)底面ABCD为矩形,ABAD.平面PAD平面ABCD,AB平面PAD.ABPD.又PAPD,PAAB=A,PD
2、平面PAB.PD平面PCD,平面PAB平面PCD.,-4-,考向一,考向二,考向三,考向四,(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD. F,G分别为PB和PC的中点, FGBC,且FG= BC. 四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点, EDBC,ED= BC, EDFG,且ED=FG, 四边形EFGD为平行四边形, EFGD. 又EF平面PCD,GD平面PCD,EF平面PCD.,解题心得从解题方法上讲,由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化,因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行.,-5-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练1如图,在三棱锥P-A
3、BC中,PAAB,PABC,ABBC, PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点. (1)求证:PABD; (2)求证:平面BDE平面PAC; (3)当PA平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.,-6-,考向一,考向二,考向三,考向四,(1)证明 因为PAAB,PABC,所以PA平面ABC. 又因为BD平面ABC, 所以PABD. (2)证明 因为AB=BC,D为AC中点, 所以BDAC. 由(1)知,PABD,所以BD平面PAC.所以平面BDE平面PAC. (3)解 因为PA平面BDE,平面PAC平面BDE=DE,所以PADE.,-7-,考向一,考向二,考向三,考向四,
4、证明垂直关系及求体积 例2(2018山东济宁一模,文18)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,AC=BC=2,M是棱AB的中点.(1)证明:平面C1CM平面ABB1A1; (2)若MC1与平面ACC1A1所成角的正弦值为 ,求四棱锥M-ACC1A1的体积.,-8-,考向一,考向二,考向三,考向四,(1)证明 在ABC中,AC=BC,M是棱AB的中点,CMAB. 由直三棱柱的性质知:BB1平面ABC,CM平面ABC,BB1CM. 又ABBB1=B,CM平面ABB1A1,CM平面C1CM, 平面C1CM平面ABB1A1. (2)解 取AC的中点O,连接OM,OC1,则OMBC,由直
5、三棱柱的性质知:CC1平面ABC,CC1BC,-9-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得证明面面垂直一般先证线面垂直,然后说明另一平面经过垂线.已知线面的夹角,易求线段的长或线上一点到面的距离.,-10-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练2(2018北京朝阳模拟,文18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,侧棱AA1底面ABC.已知D是BC的中点,AB=AA1=2.(1)求证:平面AB1D平面BB1C1C; (2)求证:A1C平面AB1D; (3)求三棱锥A1-AB1D的体积.,-11-,考向一,考向二,考向三,考向四,(1)证明 由已知ABC为正三角形,
6、且D是BC的中点,所以ADBC.因为侧棱AA1底面ABC,AA1BB1,所以BB1底面ABC.又因为AD底面ABC,所以BB1AD.而B1BBC=B,所以AD平面BB1C1C.因为AD平面AB1D,所以平面AB1D平面BB1C1C. (2)证明 连接A1B,设A1BAB1=E,连接DE. 由已知得,四边形A1ABB1为正方形,则E为A1B的中点. D是BC的中点,DEA1C. DE平面AB1D,A1C平面AB1D,A1C平面AB1D.,-12-,考向一,考向二,考向三,考向四,-13-,考向一,考向二,考向三,考向四,折叠问题中的垂直及体积 例3(2018全国卷1,文18)如图,在平行四边形A
7、BCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA.(1)证明:平面ACD平面ABC; (2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ= DA,求三棱锥Q-ABP的体积.,-14-,考向一,考向二,考向三,考向四,(1)证明 由已知可得,BAC=90,BAAC.又BAAD,所以AB平面ACD. 又AB平面ABC, 所以平面ACD平面ABC.,-15-,考向一,考向二,考向三,考向四,-16-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得平面图形翻折后成为空间图形,翻折后还在一个平面上的线线和线面的关系不发生变化,不在同一个平面上的可能发生
8、变化.解决这类问题就是要根据这些变与不变,去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值.,-17-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练3如图1,菱形ABCD的边长为12,BAD=60,AC交BD于点O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M,N分别是棱BC,AD的中点,且DM=6 .(1)求证:OD平面ABC; (2)求三棱锥M-ABN的体积.,-18-,考向一,考向二,考向三,考向四,(1)证明 四边形ABCD是菱形,AD=DC,ODAC.在ADC中,AD=DC=12,ADC=120,则OD=6.M是BC的中点,OD2+OM2=MD2,DOOM. OM,
9、AC平面ABC,OMAC=O,OD平面ABC.,-19-,考向一,考向二,考向三,考向四,垂直关系与线线角、线面角 例4如图,在四棱锥P-ABCD中,AD平面PDC,ADBC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值; (2)求证:PD平面PBC; (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.,-20-,考向一,考向二,考向三,考向四,(1)解 如图,由已知ADBC, 故DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角. 因为AD平面PDC,(2)证明 因为AD平面PDC,直线PD平面PDC,所以ADPD. 又因为BCAD,所以PDBC. 又PDP
10、B,所以PD平面PBC.,-21-,考向一,考向二,考向三,考向四,(3)解 过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角. 因为PD平面PBC,故PF为DF在平面PBC 上的射影,所以DFP为直线DF和平面PBC 所成的角.由于ADBC,DFAB,故BF=AD=1, 由已知,得CF=BC-BF=2. 又ADDC,故BCDC,-22-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得求异面直线所成的角、线与面所成的角角的方法是一作,二证,三求.异面直线所成的角一般利用平行线转化为同一平面内的两条直线所成的角;线与面所成的角一般找到直线在平面内的射影
11、,转化为直线与直线在平面内的射影所成的角.,-23-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练4如图,DC平面ABC,EBDC,AC=BC=EB=2DC=2, ACB=120,P,Q分别为AE,AB的中点. (1)证明:PQ平面ACD; (2)求AD与平面ABE所成角的正弦值.,-24-,考向一,考向二,考向三,考向四,-25-,考向一,考向二,考向三,考向四,(2)解 在ABC中,AC=BC=2,AQ=BQ,CQAB. 又DC平面ABC,EBDC, EB平面ABC. EB平面ABE, 平面ABE平面ABC, CQ平面ABE. 由(1)知四边形DCQP是平行四边形,DPCQ,DP平面ABE, 直线AD在平面ABE内的射影是AP,直线AD与平面ABE所成角,
