1、2.4.3 利用导数证明问题 及讨论零点个数,-2-,考向一,考向二,考向三,考向四,证明不等式(多维探究) 例1(2018全国卷1,文21)已知函数f(x)=aex-ln x-1. (1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间; (2)证明:当a 时,f(x)0.,-3-,考向一,考向二,考向三,考向四,-4-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得证明f(x)g(x)(xI,I是区间),只需证明f(x)ming(x)max. 证明f(x)g(x)(xI,I是区间),只需证明f(x)ming(x)max,或证明f(x)ming(x)max且两个最值点不相等.,-5-,考向
2、一,考向二,考向三,考向四,对点训练1(2018高考信息卷六,文21)已知函数 ,aR. (1)若f(x)在定义域内无极值点,求实数a的取值范围; (2)求证:当00时,f(x)1恒成立.,解 (1)由题意知令g(x)=ex(x-1)+a(x0),则g(x)=exx, 当x0时,g(x)0,g(x)在(0,+)上单调递增, 又g(0)=a-1,f(x)在定义域内无极值点,a1. 又当a=1时,f(x)在(-,0)和(0,+)上都单调递增也满足题意,所以a1.,-6-,考向一,考向二,考向三,考向四,-7-,考向一,考向二,考向三,考向四,例2(2018河北保定一模,文21节选)已知函数f(x)
3、=x+ . (1)略; (2)设函数g(x)=ln x+1,证明:当x(0,+)且a0时,f(x)g(x).,-8-,考向一,考向二,考向三,考向四,解: (1)略.所以F(x)在(1,+)上为增函数. 又F(1)=2-0-2=0,F(x)0,即h(x)min0, 所以,当x(0,+)时,f(x)g(x).,-9-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得欲证函数不等式f(x)g(x)(xI,I是区间),设h(x)=f(x)-g(x)(xI),即证h(x)0,为此研究h(x)的单调性,先求h(x)的零点,根据零点确定h(x)在给定区间I的正负,若h(x)在区间I内递增或递减或先递减后递增,只须
4、h(x)min0(xI)(若h(x)min不存在,则须求函数h(x)的下确界),若h(x)在区间I内先递增后递减,只须区间I的端点的函数值大于或等于0;若h(x)的零点不好求,可设出零点x0,然后确定零点的范围,进而确定h(x)的单调区间,求出h(x)的最小值h(x0),再研究h(x0)的正负.,-10-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练2(2018四川德阳模拟,文21)已知函数f(x)=a+ln x2且f(x)a|x|. (1)求实数a的值;,-11-,考向一,考向二,考向三,考向四,-12-,考向一,考向二,考向三,考向四,-13-,考向一,考向二,考向三,考向四,-14-,考向一
5、,考向二,考向三,考向四,判断、证明或讨论函数零点个数,例3(2018全国卷2,文21)已知函数f(x)= x3-a(x2+x+1). (1)若a=3,求f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点.,-15-,考向一,考向二,考向三,考向四,-16-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得有关函数的零点问题的解决方法主要是借助数形结合思想,利用导数研究函数的单调性和极值,利用函数的单调性模拟函数的图象,根据函数零点的个数的要求,控制极值点函数值的正负,从而解不等式求出参数的范围.,-17-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练3(2018山东济宁一模,文21节选)已知函数f(
6、x)=aln x+ x2(aR). (1)略; (2)当a0时,证明函数g(x)=f(x)-(a+1)x恰有一个零点.,-18-,考向一,考向二,考向三,考向四,-19-,考向一,考向二,考向三,考向四,例4已知函数f(x)=x3+ax+ ,g(x)=-ln x. (1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线; (2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数.,-20-,考向一,考向二,考向三,考向四,-21-,考向一,考向二,考向三,考向四,-22-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得1.如果函数中没有参数,一阶导
7、数求出函数的极值点,判断极值点大于0小于0的情况,进而判断函数零点的个数. 2.如果函数中含有参数,往往一阶导数的正负不好判断,这时先对参数进行分类,再判断导数的符号,如果分类也不好判断,那么需要对一阶导函数进行求导,在判断二阶导数的正负时,也可能需要分类.,-23-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练 4已知函数f(x)=aln x+ -(a+1)x,aR. (1)当a=-1时,求函数f(x)的最小值; (2)当a1时,讨论函数f(x)的零点个数.,-24-,考向一,考向二,考向三,考向四,-25-,考向一,考向二,考向三,考向四,-26-,考向一,考向二,考向三,考向四,与函数零点有
8、关的证明问题 例5(2018福建宁德质检二,文21)已知函数f(x)=x3-3ax2+4(aR). (1)讨论f(x)的单调性; (2)若函数f(x)有三个零点,证明:当x0时,f(x)6(a-a2)ea.,解 (1)由f(x)=x3-3ax2+4, 则f(x)=3x2-6ax=3x(x-2a),令f(x)=0,得x=0或x=2a, 当a=0时,f(x)0,f(x)在R上是增函数; 当a0时,令f(x)0,得x2a或x0,得x0或x2a,所以f(x)在(-,2a),(0,+)上是增函数,在(2a,0)上是减函数.,-27-,考向一,考向二,考向三,考向四,(2)由(1)可知,当a=0时,f(x
9、)在R上是增函数,此时函数f(x)不可能有三个零点; 当a0,则函数f(x)不可能有三个零点; 当a0时,f(x)min=f(2a)=4-4a3,要满足f(x)有三个零点,则需4-4a31, 当x0时,要证明f(x)6(a-a2)ea等价于要证明f(x)min6(a-a2)ea. 即要证4-4a36(a-a2)ea. 由于a1,故等价于证明1+a+a2 aea. 证明:构造函数g(a)=3aea-2-2a-2a2(a(1,+),g(a)=(3+3a)ea-2-4a,令h(a)=(3+3a)ea-2-4a.,-28-,考向一,考向二,考向三,考向四,h(a)=(6+3a)ea-40,函数h(a)
10、在(1,+)单调递增,则h(a)min=h(1)=6e-60, 函数g(a)在(1,+)单调递增. 则g(a)min=g(1)=3e-60, 则有1+a+a2 aea, 故有f(x)6(a-a2)ea.,解题心得证明与零点有关的不等式,函数的零点本身就是一个条件,即零点对应的函数值为0,证明的思路一般对条件等价转化,构造合适的新函数,利用导数知识探讨该函数的性质(如单调性、极值情况等),再结合函数图象来解决.,-29-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练 5(2018四川绵阳南山中学二模,理21节选)已知函数f(x)=aln x-bx-3(aR且a0) (1)略; (2)当a=1时,设g
11、(x)=f(x)+3,若g(x)有两个相异零点x1,x2,求证:ln x1+ln x22.,-30-,考向一,考向二,考向三,考向四,解: (1)略. (2)当a=1时,g(x)=f(x)+3=ln x-bx,函数的定义域为x0,设x1x20,g(x1)=0,g(x2)=0,ln x1-bx1=0,ln x2-bx2=0,ln x1-ln x2=b(x1-x2),ln x1+ln x2=b(x1+x2). 要证ln x1+ln x22, 即证b(x1+x2)2,-31-,考向一,考向二,考向三,考向四,利用导数解决存在性问题 例6(2018四川内江一模,文21)已知函数f(x)=ex-ax-1
12、(aR). (1)讨论f(x)的单调性; (2)设a1,是否存在正实数x,使得f(x)0?若存在,请求出一个符合条件的x,若不存在,请说明理由.,解: (1)f(x)的定义域为R,f(x)=ex-a,当a0时,f(x)0,故f(x)在R上单调递增; 当a0时,令f(x)=0,得x=ln a,当xln a时,f(x)0,故f(x)单调递增, 综上所述,当a0时,f(x)在R上单调递增; 当a0时,f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增.,-32-,考向一,考向二,考向三,考向四,(2)存在正数x=2ln a,使得f(x)0,即f(2ln a)=a2-2aln a-10
13、,其中a1.证明如下: 设g(x)=x2-2xln x-1(x1),则g(x)=2x-2ln x-2. 设u(x)=x-ln x-1(x1),则u(x)=1- 0,故u(x)在(1,+)上单调递增.u(x)u(1)=0,故g(x)=2x-2ln x-2=2u(x)0. g(x)在(1,+)上单调递增, 故g(x)g(1)=0. 当a1时,a2-2aln a-10, f(2ln a)=a2-2aln a-10.,-33-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得本例(2)中,利用导数的方法易得f(x)=ex-ax-1在x=ln a有最小值,存在正实数x,使得f(x)0ex-ax-10exax+1,分别作出函数y=ex和y=ax+1的图象,当xln a时,y=ex的图象增长的快速,所以当x=2ln a时,函数y=ex的图象一定在y=ax+1的图象上面,如下图所示,所以取了x=2ln a,然后证明.,-34-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练6(2018山东潍坊一模,文21节选)已知函数f(x)=aln x+x2. (1)略;(2)略; (3)当a=1时,是否存在正整数n,使 ,对x(0,+)恒成立?若存在,求出n的最大值;若不存在,说明理由.,-35-,考向一,考向二,考向三,考向四,
