1、2.3.2 圆的一般方程,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,知识探究,1.对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,若 ,则它表示一个点;若,则表示一个圆,圆心为 ,半径为;若 ,则它不表示任何图形. 2.圆的标准方程明确指出了圆的 和 ,而圆的一般方程表明了方程形式上的特点,要给出圆的一般方程需要确定方程中的三个系数D,E,F.,D2+E2-4F=0,D2+E2-4F0,D2+E2-4F0,圆心,半径,(2)圆的一般式方程体现了方程形式上的特点,即x2,y2项的系数相等且不为0,没有xy项,并且应满足条件D2+E2-4F0. (3)圆的一般方程中含有三个参数D,E,F,因此要确定
2、圆的方程需要三个独立的条件,常用待定系数法来求解.,2.曲线的轨迹方程求法 在平面直角坐标系内,某些动点按一定规律运动,其轨迹方程的求法,可按下列步骤进行: (1)建立适当的直角坐标系,用有序实数对(x,y)表示动点P的坐标; (2)写出适合条件的点P的集合M=P|M(P); (3)用坐标表示条件M(P),列出方程f(x,y)=0; (4)化方程f(x,y)=0为最简形式; (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点,一般情况下,化简前后方程的解集是相同的. 步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可适当予以说明.另外根据情况,也可以省略步骤(2)直接列出曲线方程.还要注意区分求轨迹和
3、求轨迹方程,求轨迹是论证说明轨迹是什么曲线,而求轨迹方程是求曲线的方程.,自我检测,C,A,3.如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)表示的曲线关于直线y=x对称,那么必有( ) (A)D=E (B)D=F (C)E=F (D)D=E=F,A,4.过A(0,0),B(4,0),C(0,6)三点的圆的一般方程是 .,答案:x2+y2-4x-6y=0,类型一,二元二次方程表示圆的条件,课堂探究素养提升,【例1】 下列方程各表示什么图形?若表示圆,求出其圆心和半径. (1)x2+y2+x+1=0; (2)x2+y2+2ax+a2=0(a0); (3)2x2+2y2+2ax-2a
4、y=0(a0).,(2)原方程可化为(x+a)2+y2=0(a0),它表示点(-a,0).,方法技巧 判断二元二次方程是否表示圆的常用方法 (1)首先看这个二元二次方程是否符合圆的一般方程的形式,若不具备这种形式则不表示圆,若具备这种形式则再进行判断. (2)判断圆的一般方程成立的条件是否满足.若满足,则表示圆;若不满足,则不表示圆. 对于形如Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,在A0的条件下先两边除以A化为x2+y2+mx+ny+q=0形式再作判断.,变式训练1-1:下列方程能表示圆吗?若能表示圆,求出圆心坐标和半径. (1)2x2+y2-7x+5=0; (2)x2-xy+y2
5、+6x+yt=0; (3)2x2+2y2-4x=0; (4)x2+y2-2x+6y-8=0.,解:(1)不能表示圆,因为方程中x2,y2的系数不相同. (2)不能表示圆,因为方程中含有xy项. (3)能表示圆,原方程经过约分、配方后得(x-1)2+y2=1,知此方程表示的圆的圆心为(1,0),半径为1.,类型二,圆的一般方程,【例2】 已知A(3,5),B(-1,3),C(-3,1)为ABC的三个顶点,O,M,N分别为边AB,BC,CA的中点,求OMN的外接圆的方程,并求这个圆的圆心和半径.,方法技巧 用待定系数法求圆的方程的方法 (1)若由已知条件很容易确定圆的圆心坐标、半径或题目需要利用圆
6、心坐标、半径列方程,则设出圆的标准方程,再利用待定系数法求出a,b,r的值. (2)若给出的已知条件和圆心、半径均无直接关系,例如已知圆经过已知三点,则设出圆的一般方程,再利用待定系数法求出D,E,F的值. (3)若已知条件为圆过不共线的已知三点,也可利用三角形三边垂直平分线的交点,可先求出其中任意两边的垂直平分线方程,其交点就是外接圆圆心,然后再根据性质求半径,最后写出所求圆的方程.,类型三,曲线的轨迹问题,【例3】 过点M(-6,0)作圆C:x2+y2-6x-4y+9=0的割线,交圆C于A,B两点,求线段AB的中点P的轨迹.,方法技巧 求曲线的轨迹可通过求曲线方程的一般步骤求解,也可采用观察动点的运动规律,利用曲线的轨迹定义直接写出方程.,变式训练3-1:求点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线段的中点的轨迹方程.,类型四,易错辨析,【例4】 已知圆的方程是x2+y2+kx+2y+k2=0,且点(1,2)在圆外,求k的取值范围.,谢谢观赏！,
