1、2.2 直线的方程 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,知识探究,1.直线方程的概念 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,且这条直线上点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条 .这条直线叫做这个 .,直线的方程,方程的直线,不存在,3.直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义:在直角坐标系中,x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角; (2)倾斜角与斜率关系. k=0时,直线平行于x轴或与x轴重合,此时直线的倾斜角为 ; k0时,直线的倾斜角为 ,此时,k值增大,直线的倾斜角也随着 ; k0时,直线的倾斜角为 ,此时,k值增
2、大,直线的倾斜角也随着 . 垂直于x轴的直线的倾斜角等于 ,此时直线的斜率 .,0,增大,增大,90,不存在,锐角,钝角,【拓展延伸】 直线的斜率与倾斜角之间的关系 1.直线倾斜角的特征 (1)倾斜角是一个几何概念,它直观反映了直线的倾斜程度,倾斜程度相同的直线倾斜角相等,倾斜程度不同的直线倾斜角不相等.倾斜角的取值范围是0,180). (2)四种特殊倾斜角()对应的直线 =0时,直线与y轴垂直. =90时,直线与x轴垂直. =45时,直线与一、三象限角平分线重合或平行. =135时,直线与二、四象限角平分线重合或平行.,2.直线斜率的特征 斜率是实数,它定量地反映了直线相对于x轴的倾斜程度.
3、它的表示形式是由直线上不重合的两点的坐标体现的. 3.直线的倾斜角与斜率k之间的关系 斜率和倾斜角的关系是“数与形”的关系,斜率是个实数,倾斜角则是一个角;每条直线都有唯一的倾斜角与之对应,但并不是每条直线都有斜率. (1)对应关系 当=90时,直线不存在斜率; 当90时,k与是一一对应关系. (2)变化情况 当090时,随的增大,斜率k在0,+)范围内增大; 当90180时,随的增大,斜率k在(-,0)范围内增大.,自我检测,1.对于下列命题: 若是直线l的倾斜角,则0180; 若k是直线的斜率,则kR; 任一条直线都有倾斜角,但不一定都有斜率; 任一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角. 其中
4、正确命题的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,C,解析:正确,错误,因为当直线的倾斜角为90时,直线的斜率不存在,故选C.,B,3.若m0,斜率为m的直线上有两点P(m,3),Q(1,m),则此直线的倾斜角为 .,答案:60,类型一,直线方程的概念,课堂探究素养提升,【例1】 已知直线l的方程为y=- x-2. (1)在平面直角坐标系内,画出直线l的图象;,解:(1)令x=0得y=-2,令y=0得x=-3. 故取A(-3,0),B(0,-2)两点. 则过A,B两点的直线即为l. 作图如图所示:,解:(2)把y=-x-2化为2x+3y+6=0, 将x=2,y=1代入方程得22+
5、31+6=130 所以点(2,1)不在直线l上, 将x=3,y=-4代入方程得:23+3(-4)+6=0, 所以(3,-4)适合直线l的方程, 所以点(3,-4)在直线l上.,(2)判断点(2,1),点(3,-4)是否在直线l上;,解:(3)虽然以方程2x+3y+6=0(xZ)的解为坐标的点都在直线l上,但直线l上点的坐标并非都适合方程,即不一定是方程的解,如点(-1.5,-1)是直线l上的点,但却不是2x+3y+6=0(xZ)的解. 所以方程2x+3y+6=0(xZ)不是直线l的方程.,方法技巧 (1)直线的方程,或方程的直线,需满足两点: 以方程的解为坐标的点在直线上; 直线上点的坐标都满
6、足方程; (2)方程的直线与直线的方程是并存的两个概念,只要方程是直线的方程,则直线就是方程的直线.,变式训练1-1:下列命题中,正确命题的个数为( ) 任意一条直线一定是某个一次函数的图象; 函数y=kx+b(x0)的图象是一条直线; 以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某条直线上,则这个方程叫做这条直线的方程; 若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解,则这条直线叫做这个方程的直线. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3,解析:不正确,如y=1的图象是一条直线,但不是一次函数;不正确,它表示一条射线;只是反映了一个方面.故均不正确.故选A.,类型二,直线的斜率,【例2】如图所示,直线l1
7、,l2,l3,l4都经过点P(3,2),又l1,l2,l3,l4分别经 过点Q1(-2,-1),Q2(4,-2),Q3(-3,2), Q4(3,0),试计算直线l1,l2,l3,l4的 斜率.,变式训练2-1:设点A(m,-m-3),B(2,m-1),C(-1,4),且直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍,求实数m的值.,类型三,直线的倾斜角与斜率的关系,【例3】 已知经过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,求实数a的取值范围.,变式训练3-1:求经过两点M(-1,2),N(m,3)(mR)的直线的斜率并讨论m为何值时,倾斜角为锐角、钝角和直角.,(2)当m=-1时,直线的斜率不存在,直线的倾斜角为直角.,类型四,易错辨析,【例4】 已知A(-2,-3),B(3,0),直线l过点P(-1,2)且与线段AB有交点,设直线l的斜率为k,则k的取值范围是 .,纠错:本题的k要在正值区域和负值区域内分别分析,不应简单地将斜率组合在一起.,谢谢观赏！,
