1、2.1 古典概型的特征和概率计算公式 2.2 建立概率模型,1.古典概型的定义及特征 如果一个试验具有如下两个特征: (1)有限性:试验的所有可能结果只有有限个,每次试验只出现 其中的一个结果; (2)等可能性:每一个试验结果出现的可能性相同. 我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型). 【做一做1】 下列试验中,是古典概型的是( ) A.种下一粒种子观察它是否发芽 B.从规格直径为(2500.6) mm的一批合格产品中任意取一件,测量其直径 C.抛掷一枚硬币,观察其出现正面或反面 D.某人射击中靶或不中靶 答案:C,2.基本事件 (1)定义:在一次试验中,所有
2、可能发生的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验中的基本事件. (2)特点:任何两个基本事件是不会同时发生的;任何事件都可以表示成基本事件的和. 【做一做2】 袋中装有标号分别为1,3,5,7的四个相同的小球,从中取出两个,下列事件不是基本事件的是 ( ) A.取出的两球标号为3和7 B.取出的两球标号的和为4 C.取出的两球的标号都大于3 D.取出的两球的标号的和为8 解析:由基本事件的定义知,选项A,B,C都是基本事件,D中包含取出标号为1和7,3和5两个基本事件,所以D不是基本事件. 答案:D,3.古典概型的概率计算公式 对于古典概型,通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成
3、的.如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n,随机事件A包含的基本事件数为m,那么事件A的概率规定为:,名师点拨使用古典概型概率公式的注意事项 (1)首先要判断该概率模型是不是古典概型; (2)要找出随机事件A所包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数. 【做一做3】 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,向上的点数是5或6的概率是 .,4.建立概率模型 一般地,在解决实际问题中的古典概型时,对同一个古典概型,把什么看作一个基本事件(即一次试验的结果)是人为规定的,也就是从不同的角度去考虑,只要满足以下两点: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果; (2)每个试
4、验结果出现的可能性相同. 就可以将问题转化为不同的古典概型来解决,所得可能结果越少,那么问题的解决就变得越简单.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“”,错误的画“”. (1)试验结果有限的概率模型一定是古典概型. ( ) (2)只要每个试验结果出现的可能性相同,则该概率模型一定是古典概型. ( ) (3)有限性和等可能性是判定一个事件是古典概型的关键. ( )(4)事件A包含的基本事件有m个,试验的所有可能结果数有n个,则 . ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,古典概型的判断 【例1】 判断下列概率模型是否属
5、于古典概型? (1)在区间0,2上任取一点,求此点坐标大于1的概率; (2)从甲地到乙地共有10条路线,求某人正好选中最短路线的概率; (3)任意抛掷两枚质地均匀的骰子,所得点数之和作为基本事件. 分析:从有限性和等可能性两个方面入手,对每个概率模型进行判断.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,解:(1)区间0,2包含无穷多个点,从 0,2上任取一点时,有无穷多种取法,不满足有限性,因此这不是古典概型. (2)从甲地到乙地共有10条路线,某人从中任取一条,共有10种选法,满足有限性,又每一条路线被选中的可能性是相同的,满足等可能性,因此这是古典概型. (3)任意抛掷两枚质地均
6、匀的骰子,点数之和共有11种可能,即点数之和分别是:2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,满足有限性,但这11种结果不是等可能出现的,不满足等可能性,故这不是古典概型.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,反思感悟古典概型的判断方法 判断一个试验是不是古典概型,关键看它是否具备古典概型的两个特征:(1)一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即有限性;(2)每个基本事件发生的可能性是均等的,即等可能性.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,变式训练1下列试验不是古典概型的是 .(填序号) 从6名同学中任选4人,参加数学竞赛; 近三天中有一天降雨的概率;
7、 从10人中任选两人表演节目. 解析:为古典概型,它们符合古典概型的两个特征:有限性和等可能性.不符合等可能性. 答案:,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,古典概型中基本事件总数的求法 【例2】 (1)一个口袋内装有大小、形状、质地完全相同的5个球,其中3个白球,2个黑球,从中一次摸出两个球,则共有 个基本事件;事件“摸出的两个都是白球”包括 个基本事件. (2)两个袋中,分别装有写着0,1,2,3,4,5六个数字的卡片,从每个袋中各任取一张卡片,使两数之和等于7的基本事件有 个.,答案:(1)10 3 (2)4,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,解析:(1
8、)分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,从中摸出两个球,有如下基本事件(如摸到1,2号球用(1,2)表示):(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),因此共有10个基本事件;摸出的两个都是白球的基本事件有(1,2),(1,3),(2,3)3个. (2)从每个袋中任取一张卡片的情况如下:,共有36个基本事件,设事件A为“两数之和等于7”,则事件A包含(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),共4个基本事件.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,反思感悟1.求基本事件及其总数的方法主要有以下几种
9、. (1)列举法:适合于较简单的问题,基本事件总数较少的情况; (2)树状图法:适合于基本事件较多,且有规律的情况; (3)列表法:适合于基本事件较多的情况; (4)坐标法:适用于试验与抛骰子有关,且基本事件与点的坐标相关的情况. 2.在利用上述几种方法求基本事件总数时,所有操作都要按照一定的规律、标准及顺序进行,避免随意性,以做到不重、不漏.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,变式训练2袋中有大小、形状、质地都相同的红球、黑球各一个,现依次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球. (1)写出该试验的基本事件及基本事件总数; (2)写出“取出的三球是二红一黑”这一事件包含的基本
10、事件. 解:(1)由题意所有可能的基本事件有:(红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑),共有8个基本事件. (2)“取出的三球是二红一黑”这一事件包括(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)共3个基本事件.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,古典概型概率的求解 【例3】某宿舍共有4个人,每个人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张贺卡,则每个人恰好拿到别人写的贺卡的概率是多少? 分析:先将宿舍的人员编号,贺卡也相应编号,然后可用树状图法列举基本事件,从而求得概率. 解:将4个人编
11、号为1,2,3,4,他们写的4张贺卡分别编号为1,2,3,4. 每个人从中拿一张贺卡,共有24种等可能的取法:,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,反思感悟在确定是古典概型问题后,求其概率只需套用公式P(A)= 计算即可,其中关键是求出n和m的值,即基本事件总数和事件A所包含的基本事件数.求基本事件个数时可灵活选用列举法、树状图法、列表法、坐标法等方法.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,古典概型的综合问题 【例4】 编号分别为A1,A2,A16的
12、16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:,(2)从得分在区间20,30)内的运动员中随机抽取2人, 用运动员编号列出所有可能的抽取结果; 求这2人得分之和大于50的概率.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,解:(1)由得分记录表,从左到右应填4,6,6. (2)得分在区间20,30)内的运动员编号为A3,A4,A5,A10,A11,A13.从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有(A3,A4),(A3,A5),(A3,A10), (A3,A11),(A3,A13),(A4
13、,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A4,A13),(A5,A10),(A5,A11), (A5,A13),(A10,A11),(A10,A13),(A11,A13),共15种. 从得分在区间20,30)内的运动员中随机抽取2人,将“这2人得分之和大于50”记为事件B,则事件B的所有可能结果有(A4,A5), (A4,A10),(A4,A11),(A5,A10),(A10,A11),共5种.所以,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,反思感悟古典概型综合问题的解题方法 (1)要深刻理解该问题所涉及的其他数学知识,在理解这个数学问题的基础上结合古典概型的计算公式进行求解
14、. (2)古典概型信息迁移题通过给出一个新概念或定义一种新运算或给出几个新模型等来创设新的问题情境,要求同学们在阅读理解的基础上,应用所学的知识和方法,实现信息的迁移,以达到灵活解题的目的.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,变式训练4(1)设a,b1,2,3,则函数f(x)=x2+bx+a无零点的概率为 ; (2)“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2 578),在两位的“渐升数”中任取一个数比37大的概率是 .,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,解析:(1)由题意知本题是一个古典概型问题,因为试验发生包含的事件是从含有3个元素的集合中取元素
15、,每一个有3种取法,共有33=9种结果.满足条件的事件是使函数f(x)=x2+bx+a无零点的结果,要满足b2-4a0,即b24a. 从所给的数据中,当b=1时,a有3种结果; 当b=2时,a有2种结果;当b=3时,a有1种结果. 综上所述,共有3+2+1=6种结果,所以概率是 (2)十位是1的“渐升数”有8个;十位是2的“渐升数”有7个;十位是8的“渐升数”有1个,所以两位的“渐升数”共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个);以3为十位数,比37大的“渐升数”有2个,分别以4,5,6,7,8为十位数的“渐升数”均比37大,且共有5+4+3+2+1=15(个),所以比37大的两位“渐升数
16、”共有2+15=17(个). 故在两位的“渐升数”中任取一个数比37大的概率是,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变换角度,巧解古典概型 【典例】甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排,则甲站在边上的概率为 . 方法一利用树状图来列举基本事件,如图所示.,由树状图可看出共有24个基本事件. 甲站在边上有12种情况:(甲,乙,丙,丁),(甲,乙,丁,丙),(甲,丙,乙,丁),(甲,丙,丁,乙),(甲,丁,乙,丙),(甲,丁,丙,乙),(乙,丙,丁,甲),(乙,丁,丙,甲),(丙,乙,丁,甲),(丙,丁,乙,甲),(丁,乙,丙,甲),(丁,丙,乙,甲).故甲在边上的概率为,当堂检测,探究
17、一,探究二,探究三,探究四,思想方法,方法二甲、乙、丙、丁四人站队,排头和排尾的站法共有:(甲,乙),(乙,甲),(甲,丙),(丙,甲),(甲,丁),(丁,甲),(乙,丙),(丙,乙),(乙,丁),(丁,乙),(丙,丁),(丁,丙)12种情况,其中甲站在边上的情况有:(甲,乙),(乙,甲),(甲,丙),(丙,甲),(甲,丁),(丁,甲)6种情况,故甲站在边上的概率为,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,方法点睛1.从不同的角度把握问题,进而转化为不同的古典概型,这是我们进行概率计算的重要思想.当所选取的试验可能出现的结果的角度不同时,基本事件的个数也将不同,但是最终所求概率的值
18、是确定的. 2.在写试验的所有可能结果时,务必弄清问题的本质,选取合适的着眼点,有时需要“放短”眼光,只考虑影响某次试验结果的事件总数即可,如本例可只考虑排头和排尾两个特殊位置.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色,且每个矩形只涂一种颜色,求: (1)3个矩形颜色都相同的概率; (2)3个矩形颜色都不同的概率.,解:用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色,基本事件共有27个,如图所示.,图,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,1.下列试验中,是古典概型的个数为( ) 种下一粒花生,观察它是否发芽; 向
19、上抛一枚质地不均的硬币,观察正面向上的概率; 正方形ABCD内任意一点P,点P恰与点C重合; 从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率; 在线段0,5上任取一点,求此点小于2的概率. A.0 B.1 C.2 D.3 解析:只有是古典概型. 答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,2.从2,3,8,9任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率= . 解析:从2,3,8,9任取2个分别记为(a,b),则有(2,3),(3,2),(2,8),(8,2),(2,9),(9,2),(3,8),(8,3),(3,9),(9,3),(8,9),(
20、9,8),共有12种情况,其中符合logab为整数的有log39和log28两种情况,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,3.若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率为 . 解析:将先后抛掷2次,出现向上的点数记作点坐标(x,y),则共可得点坐标的个数为66=36,而向上点数之和为4的点的坐标有(1,3), (2,2),(3,1),共3个,故先后抛掷2次,出现向上的点数之和为4的概率,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,4.某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中,每次取出一个球记下编号后
21、放回,连续取两次,若取出的两个小球号码相加之和等于6,则中一等奖,等于5则中二等奖,等于4或3则中三等奖. (1)求中三等奖的概率; (2)求中奖的概率.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,解:设“中三等奖”为事件A,“中奖”为事件B,从四个小球中有放回地取两球有:(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1), (2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)共16种不同的取法. (1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有:(1,3),(2,2), (3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)共7种,则中三等奖的概率为 (2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种; 两个小球号码相加之和等于5的取法有2种:(2,3),(3,2). 两个小球号码相加之和等于6的取法有1种:(3,3). 则中奖的概率为,
