1、5.1 估计总体的分布,1.估计总体分布的相关概念 (1)总体分布:一般地,总体分布是指总体中个体所占的比例. (2)样本频率分布表:是把样本数据重新汇总而成的一个表格,表中栏目有样本宽度分组(xi);频数(ni);频率(fi). (3)频率分布直方图:每个小矩形的宽度为xi(分组的宽度),高为 ,小矩形的面积恰为相应的频率fi.通常我们称这样的图形为频率分布直方图. (4)频率折线图:在频率分布直方图中,按照分组原则,再在左边和右边各加一个区间,从所加的左边区间的中点开始,用线段依次连接各个矩形的顶端中点,直至右边所加区间的中点,就可以得到一条折线,我们称之为频率折线图.,规律总结几种表示样
2、本分布方法的比较 (1)频率分布表:频率分布表在数量表示上比较确切,但不够直观、形象,分析数据分布的总体趋势不太方便. (2)频率分布直方图:频率分布直方图能非常直观地表明数据分布的形状,使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式.但是从直方图本身得不出原始的数据内容,也就是说,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了. (3)频率折线图:频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势.如果样本容量不断增大,分组的宽度不断缩小,那么折线图就趋向于一条光滑曲线.,【做一做1】 为了引导学生树立正确的消费观,调查了学生每天零花钱的数量(钱数取整数元),容量为1 000的样本的频率分布直方图如图
3、所示,则样本数据落在6,14)内的频数为( )A.780 B.680 C.648 D.460 解析:依题意知(0.02+0.08+x+0.032)4=1,故x=0.09. 数据落在6,14)内的频率为(0.08+0.09)4=0.68, 因此频数为0.681 000=680.故选B. 答案:B,2.频率分布表、频率分布直方图、频率折线图的画法 (1)频率分布表的画法步骤 计算数据中最大值与最小值的差称为极差,算出极差就知道数据变动的范围;,决定分点; 列频率分布表,数据落在第i个小组内的个数为频数ni;每小组的频数与数据总数的比值叫作这一小组的频率fi,算出各小组的频率;为方便画图还需计算出
4、填入表中.,(2)频率分布直方图的画法步骤 列频率分布表; 画坐标系,以横轴表示样本的分组,以纵轴表示频率与分组的宽度的比 ; 按照频率分布表中的数据作出各个小矩形,即得频率分布直方图. (3)频率折线图的画法步骤 绘制频率分布直方图; 取点:取各个小矩形的顶端的中点,再在原分组的左、右两边各增加一个小区间,取其中点(这两个端点没有实际意义); 连线:用直线段顺次连接这些中点,就得到频率折线图.,【做一做2】 已知一个样本:30,29,26,24,25,27,26,22,24,25,26, 28,25,21,23,25,27,29,25,28. (1)列出样本的频率分布表. (2)画出频率分布
5、直方图和频率折线图. 解:(1)计算极差:30-21=9. 决定组距和组数:取组距为2.,所以共分5组. 决定分点,使分点比数据多一位小数. 并把第1小组的分点减小0.5,即分成如下5组: 20.522.5,22.524.5,24.526.5,26.528.5,28.530.5. 列出频率分布表如下:,(2)作出频率分布直方图如下:取各小长方形上的中点并用线段连接就构成了频率折线图,如上图.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“”,错误的画“”. (1)频率分布直方图中小长方形的高表示取某数的频率. ( ) (2)频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1. ( ) (3)
6、频率分布直方图中小长方形的面积等于该组的频率组距. ( ) (4)频率分布折线图能反映数据的增减趋势. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,频率分布直方图与折线图的概念及画法 【例1】 (1)已知样本数据如下:25,21,23,25,27,29,25,28,30,29,26,22,24,25,26,28,26,24,25,27.在列频率分布表时,如果取组距为2,那么落在24.526.5这一组的频率是( ) A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 (2)已知100个样本数据的分组及各组的频数如下: 153.5155.5,4; 161.5163
7、.5,20; 155.5157.5,14; 163.5165.5,12; 157.5159.5,18; 165.5167.5,8; 159.5161.5,22; 167.5169.5,2. 列出频率分布表; 作出频率分布直方图及频率折线图.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,(1)答案:C (2)解:频率分布表如下:,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,频率分布直方图和频率折线图如图所示.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,反思感悟1.可按照画频率分布直方图的一般步骤画出频率分布直方图,特别要注意的是纵坐标表示的是 ,而不是频率. 2.对数据进行分组时,确定好分点是关键,通常有两种方法:
8、(1)改变数据位数,若数据为整数,则分点数据减去0.5;若数据是小数点后有1位的数,则分点数据减去0.05,依此类推. (2)不改变数据位数,但要注意分组后,每组的起点数据包含在该组内,终点数据不包含在该组内. 3.画频率折线图时,应先作出频率分布直方图,再在最左边和最右边各添加一个区间,依次取出矩形顶端的中点,然后即可画出频率折线图.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,变式训练1有一个容量为50的样本,数据分组及各组的频数如下:12.515.5,3;15.518.5,8;18.521.5,9;21.524.5,11;24.527.5,10;27.530.5,5;30.533.5,4. (1
9、)列出样本频率分布图表; (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,解:(1)频率分布表如下:,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,频率分布直方图的应用 【例2】 (1)如图,有一频率分布直方图,图中x的值为( )A.0.4 B.0.2 C.0.04 D.0.02,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,(2)某学校对高二年级一次考试成绩进行抽样分析.如图是根据抽样分析后的考试成绩绘制的频率分布直方图,其中抽样成绩的范围是96,106,样本数据分组为96,98),98,100)
10、,100,102),102,104), 104,106.已知样本中成绩小于100分的人数是36,则样本中成绩大于或等于98分且小于104分的人数是( )A.90 B.75 C.60 D.45,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,解析:(1)在频率分布直方图中,分组的宽度为1,于是有(0.1+0.15+2x+0.35)1=1,解得x=0.2. (2)样本中成绩小于100分的频率为(0.050+0.100)2=0.3. 样本容量为 样本中成绩大于或等于98分且小于104分的人数为120(0.100+0.150+0.125)2=90. 答案:(1)B (2)A,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,探
11、究一,探究二,思维辨析,当堂检测,变式训练2如图所示是总体的一个样本频率分布直方图,且在15,18)内频数为8.(1)求样本在15,18)内的频率; (2)求样本容量; (3)若在12,15)内的小矩形面积为0.06,求在18,33)内的频数.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,解:由样本频率分布直方图可知组距为3.(3)在12,15)内的小矩形面积为0.06,故样本在12,15)内的频率为0.06,故样本在15,33)内的频数为50(1-0.06)=47.又因为在15,18)内的频数为8,故在18,33)内的频数为47-8=39.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,未理解频率分布直方图中
12、纵坐标的含义而致误 【典例】中小学生的视力状况受到全社会的广泛关注,某市有关部门从全市60 000名高一新生中随机抽取了400名学生,对他们的视力状况进行一次调查统计,将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图,如图所示,从左到右五个小组的频率之比依次是5712106,则全市高一新生视力在3.95,4.25范围内的学生约有多少人?,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,纠错心得1.在频率分布直方图中,纵坐标对应值的含义是 ,每个小长方形的面积才能代表对应各段内频率值. 2.该例题产生错误的根源就是把图中标注的0.5看成了第五组的频率,而实际上0.50.3=0.15才是对应的频率,因此正确认识频率分布
13、直方图的意义是解决问题的关键.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,变式训练有一容量为500的样本,把数据分成7组,它的频率分布直方图如图所示,根据其频率分布直方图,请你估计数据落在15.524.5内的数量.,解:由频率分布直方图可知,数据分成7组,其组距为3,所以数据落在15.518.5内的频率为0.0543,落在18.521.5内的频率为0.063,落在21.524.5内的频率为0.0753.所以数据落在15.524.5内的数量有500(0.0543+0.063+0.0753)=283.5.所以估计数据落在15.524.5内的数量大约有284个.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,1.在
14、用样本频率分布估计总体频率分布的过程中,下列说法正确的是( ) A.总体容量越大,估计越精确 B.总体容量越小,估计越精确 C.样本容量越大,估计越精确 D.样本容量越小,估计越精确 答案:C 2.有一个容量为200的样本,其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在区间1012内的频数为( )A.18 B.36 C.54 D.72 答案:B,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,3.一个容量为35的样本数据,分组后,各组与相应频数如下:5,10),5;10,15),12;15,20),7;20,25),5;25,30),4;30,35),2,则样本在区间20,35)上的
15、频率约为( ) A.20% B.69% C.31% D.27%,答案:C,4.一个容量为20的样本,数据的分组及各组的频数如下表:(其中x,yN+),则样本在区间1050上的频率为 . 答案:0.7,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,5.从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛,成绩的分组及各组的频数如下 (单位:分):4050,2;5060,3;6070,10;7080,15;8090,12;90100,8. (1)列出样本的频率分布表; (2)画出频率分布直方图及频率折线图; (3)估计成绩在6090分的学生比例.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,解:(1)样本的频率分布表如下:,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,(2)频率分布直方图及频率折线图如图所示:,(3)成绩在6090的频率为0.2+0.3+0.24=0.74,所以可估计成绩在6090分的学生比例为74%.,
