1、第二课时 平面与平面垂直,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,知识探究,1.平面与平面垂直 如果两个相交平面的交线与 ,又这两个平面与第三个平面相交所得的 ,就称这两个平面互相垂直.,第三个平面垂直,两条交线互相垂直,2.判定定理 如果一个平面过另一个平面的 ,则两个平面互相垂直. 3.性质定理 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内 垂直于另一个平面.,一条垂线,垂直于它们交线的直线,【拓展延伸】 平面与平面垂直的判定 1.证明面面垂直的一般思路:在一个平面内寻找一条直线或作一条直线使之与另一个平面垂直,把问题转化为直线与平面垂直.,2.证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直线
2、面垂直面面垂直来实现的,因此,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化,其转化关系如图所示:,自我检测,1.空间四边形ABCD中,若ADBC,BDAD,那么有( ) (A)平面ABC平面ADC (B)平面ABC平面ADB (C)平面ABC平面DBC (D)平面ADC平面DBC,D,2.平面,以及直线l满足,且l,则一定有( ) (A)l (B)l (C)l与相交 (D)l或l或l与相交,D,解析:因为且l,故l与平面可以平行、可以相交,也可以在平面内.,3.下列命题错误的是( ) (A)若一直线垂直于一平面,则此直线必垂直于这平面上所有直线 (B)若一个平面通过另一个
3、平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直 (C)若一直线垂直于一个平面的一条垂线,则此直线必平行于这个平面 (D)若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它也和这条斜线垂直,C,解析:由线面垂直的定义知,A正确;由面面垂直的判定定理知,B正确;若一直线垂直于一个平面的一条垂线,则此直线可能平行于这个平面,也可能在这个平面内,C错误;由线面垂直的判定定理知,D正确.故选C.,4.已知,是两个不同的平面,m,n是平面及之外的两条不同直线,给出四个论断: mn;n;m. 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: .,解析:由mn,m,n,知n, 又n,所以;
4、由,n,n,知n, 又m,所以mn.,答案:(或),类型一,平面与平面垂直的判定,课堂探究素养提升,【例1】 (2017北京卷)如图,在三棱锥P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC, PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点. (1)求证:PABD;,(1)证明:因为PAAB,PABC, 所以PA平面ABC, 又因为BD平面ABC, 所以PABD.,(2)求证:平面BDE平面PAC; (3)当PA平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.,(2)证明:因为AB=BC,D为AC的中点, 所以BDAC. 由(1)知,PABD,所以BD平面PAC. 所以平面BDE平面PAC.,
5、方法技巧 证明面面垂直的关键是将证明的问题转化为线面垂直的问题.在处理时,应从已知入手,分析已有的垂直关系,再从结论入手,分析要证明的垂直关系,从而架起已知与未知之间的“桥梁”.,变式训练1-1:如图所示,已知BSC=90,BSA=CSA=60,又SA=SB=SC. 求证:平面ABC平面SBC.,法二 (利用判定定理) 因为SA=SB=SC,且BSA=CSA=60, 所以SA=AB=AC, 所以点A在平面SBC上的射影为SBC的外心. 因为SBC为直角三角形, 所以点A在SBC上的射影D为斜边BC的中点, 所以AD平面SBC. 又因为AD平面ABC, 所以平面ABC平面SBC.,类型二,平面与
6、平面垂直的性质,【例2】 如图所示,P是ABC所在平面外的一点,且PA平面ABC,平面PAC平面PBC.求证:BCAC.,证明:如图所示,在平面PAC内作ADPC交PC于D, 因为平面PAC平面PBC,AD平面PAC, 且平面PAC平面PBC=PC,所以AD平面PBC, 又BC平面PBC,所以ADBC. 因为PA平面ABC,BC平面ABC,所以PABC. 因为ADPA=A,所以BC平面PAC.又AC平面PAC,所以BCAC.,方法技巧 已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直应将两条直线中的一条纳入一平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直.在空间几何图形中,高一级的
7、垂直关系蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看到:面面垂直线面垂直线线垂直.,变式训练2-1:已知:,是三个不同的平面, ,=l,求证:l.,证明:法一 设=a,=b,在内作ma,在内作nb,如图所示. 因为,所以m,n, 所以mn, 又n,m,所以m, 又=l,m,所以ml,则la,lb,所以l.,法二 设=a,=b,在内任取一点P,过P在内作直线ma, nb,如图所示,因为,所以m,n,又因为=l,所以ml,nl,所以l.,类型三,线线、线面、面面垂直的综合应用,【例3】 (2017全国卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP= CDP=90. (1)证明:平面PAB平面PAD;,(1)证明:由已知BAP=CDP=90,得 ABAP,CDPD. 由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD. 又AB平面PAB, 所以平面PAB平面PAD.,变式训练3-1:如图所示,ABC为正三角形,EC平面ABC,BDCE,且CE=CA= 2BD,M是EA的中点.求证: (1)DE=DA;,(2)平面BDM平面ECA; (3)平面DEA平面ECA.,(3)由(2)知DMBN,BN平面ECA.所以DM平面ECA. 因为DM平面DEA,所以平面DEA平面ECA.,谢谢观赏！,
