1、1.2.3 空间中的垂直关系 第一课时 直线与平面垂直,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.两条直线互相垂直 如果两条直线相交于一点或 ,并且 ,则称这两条直线互相垂直. 2.空间直线与平面垂直 如果一条直线和一个平面相交于一点,并且和这个平面内过交点的 .,我们说这条直线和这个平面互相垂直,这条直线叫 ,这个平面叫 ,交点叫 ,垂线上任意一点到垂足间的线段,叫这个点到平面的 ,垂线段的长度叫这个点到平面的距离.,经过平移后相交于一点,交角为直角,任何,直线都垂直,平面的垂线,直线的垂面,垂足,垂线段,3.直线与平面垂直的判定定理 定理:如果 ,则
2、这条直线与这个平面垂直.推论1:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么 . 推论2:如果两条直线垂直于同一个平面,那么 .,一条直线与平面内的两条相交直线垂直,另一条直线也垂直,于这个平面,这两条直线平行,4.直线与平面垂直的性质定理 如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的 .,任意一条直线垂直,【拓展延伸】 直线和平面的垂直 1.直线与平面垂直定义的理解 (1)定义中的“任何直线”是必不可少的,它与“所有直线”是有相同的含义,但与“无数直线”表达的意义不相同,要注意区分. (2)由定义可知,直线与平面垂直时,这条直线与平面内的每一条直线都垂直,这也是在立体几何中证明线线垂直常用
3、的而且是重要的判定方法. (3)直线与平面垂直时,直线与平面必相交. 2.直线与平面垂直的判定 (1)判定方法:线面垂直的定义;判定定理;判定定理的推论. 其中主要方法是判定定理,即在平面内,找两条相交直线与已知直线垂直,从而转化为证明直线与直线的垂直.,(2)与线面垂直有关的两个结论: 垂直于同一平面的两条直线平行(证明线线平行的方法); 垂直于同一直线的两个平面平行(证明面面平行的方法).,自我检测,1.若直线l不垂直于平面,那么平面内( ) (A)不存在与l垂直的直线 (B)只存在一条与l垂直的直线 (C)存在无数条直线与l垂直 (D)以上都不对,C,解析:直线与平面不垂直也可以垂直于平
4、面内的无数条直线,这些直线都相互平行.故选C.,2.如果一条直线垂直于一个平面内的:三角形的两条边;梯形的两条边;圆的两条直径;正六边形的两条边.不能保证该直线与平面垂直的是( ) (A) (B) (C) (D),C,解析:因为三角形两边是两条相交线,可得直线与平面垂直;梯形两边,若是平行的两边则直线不一定与平面垂直;圆的两条直径一定是相交线,故可得直线与平面垂直;正六边形的两边若是一组平行线则不一定垂直.故选C.,3.若m,lm,则l与的位置关系是( ) (A)l (B)l (C)l (D)l或l,解析:通过作图(图略)可知:l或l.故选D.,D,4.设O为平行四边形ABCD对角线交点,P为
5、平面AC外一点,且满足PA=PC,PB=PD,则PO与平面ABCD的关系是 .,解析:因为PA=PC,PB=PD,O为AC,BD中点, 所以POAC,POBD, 又ACBD=O, 所以PO平面ABCD.,答案:垂直,类型一,直线与平面垂直的判定,课堂探究素养提升,【例1】 已知PAO所在的平面,AB是O的直径,C是O上任意一点,过A点作AEPC于点E,求证:AE平面PBC.,证明:因为PA平面ABC,所以PABC. 又因为AB是O的直径,所以BCAC. 而PAAC=A,所以BC平面PAC, 又因为AE在平面PAC内,所以BCAE. 又因为PCAE,且PCBC=C,所以AE平面PBC.,变式训练
6、1-1:如图,PA平面ABC,ABC中,BCAC,则图中直角三角形有( ) (A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个,解析:因为PA平面ABC, 所以PAAC,PABC,PAAB. 因为BCAC,ACPA=A, 所以BC平面PAC,所以BCPC, 所以PAC、PAB、ABC、PBC均是直角三角形.选A.,类型二,直线与平面垂直的性质,【例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别在A1D、AC上,且EFA1D,EFAC. 求证:EFBD1.,证明:如图所示, 连接AB1,B1C、BD,B1D1, 因为DD1平面ABCD,AC平面ABCD,所以DD1AC. 又因为ACB
7、D且BDDD1=D,所以AC平面BDD1B1. 因为BD1平面BDD1B1,所以BD1AC. 同理可证BD1B1C,又B1CAC=C,所以BD1平面AB1C. 因为EFA1D,A1DB1C,所以EFB1C. 又EFAC且ACB1C=C,所以EF平面AB1C,所以EFBD1.,方法技巧 线面垂直的性质常用来证明线线垂直以及线线平行;由此要重视线面垂直与线线垂直及平行的内在联系,能够进行它们之间的相互转化.,变式训练2-1:如图,已知点P为平面ABC外一点,PABC,PCAB,求证:PBAC.,证明:过P作PO平面ABC于O,连接OA、OB、OC. 因为BC平面ABC,所以POBC. 又因为PAB
8、C,PAPO=P,所以BC平面PAO. 又因为OA平面PAO,所以BCOA. 同理,可证ABOC.所以O是ABC的垂心.所以OBAC. 又因为POAC,OBPO=O,所以AC平面PBO. 又PB平面PBO,所以PBAC.,类型三,线面垂直关系的综合应用,【例3】 (2016全国卷)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G. (1)证明G是AB的中点;,(1)证明:因为P在平面ABC内的正投影为D, 所以ABPD. 因为D在平面PAB内的正投影为E,所以ABDE. 又PDDE=D, 所
9、以AB平面PED,故ABPG. 又由已知可得PA=PB,从而G是AB的中点.,(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.,方法技巧 与空间中垂直关系有关的综合问题要根据已知条件和有关性质定理、判定定理、定义等综合判别,利用它们之间的相互转化关系进行证明.,变式训练3-1:如图所示,ABC中,B为直角,P是ABC外一点,且PA=PB, PBBC.若M是PC的中点,试确定AB上点N的位置,使得MNAB.,解:因为CBAB,CBPB,ABPB=B,所以CB平面APB.过M作MECB, 则ME平面APB,所以MEAB. 若MNAB,因为MEMN=M,则AB平面MNE,所以ABEN. 取AB中点D,连接PD,因为PA=PB,所以PDAB,所以NEPD. 又M为PC的中点,MEBC,所以E为PB的中点. 因为ENPD,所以N为BD的中点, 故当N为AB的四等分点(AN=3BN)时,MNAB.,谢谢观赏！,
