1、1.2.2 空间中的平行关系 第一课时 平行直线 直线与平面平行,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,知识探究,1.基本性质4 平行于同一条直线的两条直线互相 ,用符号语言表示 . 2.定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应 ,并且 ,那么这两个角相等.,平行,若ab,cb,则ac,平行,方向相同,3.空间四边形 顺次连接不共面的四点所构成的图形,叫做 .这四个点叫空间四边形的 ;所连接的相邻顶点间的线段叫空间四边形的 ;连接不相邻的顶点的线段叫空间四边形的 .,空间四边形,顶点,边,对角线,4.直线与平面的位置关系 如果一条直线与一个平面有两个公共点,则 .如果一条直线与
2、一个平面只有一个公共点,则 .如果一条直线与平面无公共点,则 . 5.直线与平面平行的判定定理 如果 的一条直线和 的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. 6.直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行, ,那么这条直线就和两平面的交线平行.,这条直线在这个平面内,直线与平面相交,直线与平面平行,不在一个平面内,平面内,经过这条直线的平面和这个平面相交,【拓展延伸】 1.直线与平面平行的判定方法 (1)定义法:如果一条直线与平面没有公共点,那么这条直线和这个平面平行. (2)直线和平面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行
3、,符号表示为:a,b,ab a. 在判定定理中,要特别注意“不在一个平面内的一条直线”这个条件,很容易忽略,如果缺少了这个条件,直线和平面将可能会有另外一种位置关系:直线在平面内. 这个定理告诉我们,今后要证明平面外一条直线与平面平行时,只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行,就可判定这条已知直线必与这个平面平行.,直线与平面平行的判定定理实质上是将直线与平面平行的判定转化成直线与直线平行的判定,这是立体几何中的一种常用方法,将线面平行的关系转化成线线平行的关系来处理. 根据定理,画一条直线与已知平面平行,通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面,并且使它与平行四边形的一边平行或
4、与平行四边形内的一条线段平行. 2.直线与平面平行的性质 (1)定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行. 符号表示为:l,l,=mlm.,(2)直线与平面平行的性质定理的作用 作为证明线线平行的依据,当证明线线平行时,可以通过证明其中一条直线平行于一个平面,另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线,从而得到两直线平行.在空间中,经常应用这个定理,由“线面平行”去判定“线线平行”. 作为画一条直线与已知直线平行的依据,如果一条直线平行于一个平面,在平面内要画一条直线与已知直线平行,可以通过已知直线作一个平面与已知平面相交,交线就
5、是所要画的直线. 定理中有三个条件:l;=m;l.这三个条件缺一不可,否则将出现错误.,自我检测,1.已知:直线a平行于平面,则直线a与平面内的直线b的位置关系是( ) (A)平行 (B)异面 (C)相交 (D)异面或平行,D,解析:由定义知:直线与平面平行,则直线与平面无公共点,从而直线与平面内的直线无公共点,故选D.,2.若AOB=A1O1B1且OAO1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是( ) (A)OBO1B1且方向相同 (B)OBO1B1 (C)OB与O1B1不平行 (D)OB与O1B1不一定平行,D,解析:因AOB与A1O1B1可以绕OA、O1A1转动,所以OB与O
6、1B1不一定平行,故选D.,3.在下列命题中正确命题的个数是( ) 若直线a平行于平面,直线b平面,则ab; 如果点P是直线a上的点,且P平面,那么a; 一条直线和一个平面内的无数条直线都异面,则这条直线和这个平面平行; 过平面外一点可作无数条直线和平面平行. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3,解析:不正确,正确.,B,4.在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA上的一点,且四边形EFGH为菱形,若AC平面EFGH,BD平面EFGH,AC=m,BD=n,则AEBE= .,答案:mn,类型一,直线与平面平行的判定,课堂探究素养提升,【例1】 已知空间四边形ABCD
7、,P,Q分别是ABC和BCD的重心.求证:PQ平面ACD.,证明:如图所示,取BC的中点E. 因为P是ABC的重心,连接AE, 所以AE过点P,且AEPE=31. 因为Q为BCD的重心,连接DE, 所以DE过点Q,且DEQE=31,连接PQ, 所以在AED中,PQAD. 又AD平面ACD,PQ平面ACD,所以PQ平面ACD.,方法技巧 证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线.首先要看是否有直接可用的平行线,若无,则考虑根据已知条件作出所需要的平行线,其口诀是“见分点连分点,找出平行线”,有时的分点是中点,通常考虑三角形中位线.,变式训练1-1:如图所示,四边形ABC
8、D是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证: GH平面PAD.,证明:如图,连接AC交BD于点O,连接MO. 因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点. 又M是PC的中点,所以PAMO. 而AP平面BDM,OM平面BDM,所以PA平面BMD. 又因为PA平面PAHG,平面PAHG平面BMD=GH,所以PAGH. 又PA平面PAD,GH平面PAD,所以GH平面PAD.,类型二,直线与平面平行的性质,【例2】 如图,四面体A-BCD被一平面所截,截面与四条棱AB,AC,CD,BD分别相交于E,F,G,H四点,且截面
9、EFGH是一个平行四边形,求证:棱BC平面EFGH.,证明:因为平面EFGH是平行四边形, 所以EFGH,又EF平面BCD, GH平面BCD,所以EF平面BCD, 又EF平面ABC,且平面ABC平面BCD=BC,所以EFBC, 又BC平面EFGH,EF平面EFGH.所以BC平面EFGH.,方法技巧 已知线面,借助辅助平面得线线,有时线面难以找出联系,要作出辅助平面,实际证题时往往把线线线面线线反复使用才能达到证明的目标.,变式训练2-1:已知平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面,求证另一条也平行于这个平面.,证明:已知:直线ab,a,且b,求证:b. 如图所示,过a及平面内一点A作平面.
10、设=c,因为a,所以ac.因为ab,所以bc.又因为b,c,所以b.,类型三,直线与平面平行的综合运用,【例3】 求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.,解:已知=l,a,a,求证:al. 证明:过a作平面交于b,如图, 因为a,a,=b, 所以ab(直线和平面平行性质定理). 同样,过a作平面交平面于c, 因为a,所以ac(直线和平面平行性质定理),所以bc. 又因为b,且c,所以b. 又因为平面经过b交于l,所以bl(直线和平面平行性质定理). 因为ab,所以al(公理4).,方法技巧 (1)本题多次应用线面平行的性质定理,揭示了线面平行与线线平行的内在联系与相互转化关系.为利用线面平行的性质,本题构造两个辅助面产生平面内的直线,起到转化的作用. (2)证明两条直线平行的方法: 利用平行线的定义;利用平行关系的传递性;利用直线与平面平行的性质定理;另外在同一平面内,可利用平面几何的方法来证明线线平行,如三角形中位线,平行线分线段成比例等.,求证:(1)当=时,四边形EFGH是平行四边形; (2)当时,四边形EFGH是梯形.,(2)当时,EHFG,故四边形EFGH是梯形.,谢谢观赏！,
