1、1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.1 平面的基本性质与推论,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.平面的基本性质 (1)基本性质1 如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内. 这时我们说,直线在平面内或平面经过直线. (2)基本性质2 经过 的三点,有且只有一个平面,也可简单地说成, 的三点确定一个平面.,两点,不在同一条直线上,不共线,(3)基本性质3 如果不重合的两个平面有 公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线. 2.平面基本性质的推论 (1)推论1 经过一条直线和 的一点,有且只有一个平面. (2)
2、推论2 经过两条 直线,有且只有一个平面. (3)推论3 经过两条 直线,有且只有一个平面. 【拓展延伸】 (1)基本性质1的作用是判定直线在平面内的依据. (2)基本性质2及它的三个推论的作用是确定平面的依据. (3)基本性质3的作用是判定两平面相交的依据,也是证明点共线或线共点的依据.,一个,直线外,相交,平行,3.共面与异面直线 (1)两条直线共面,那么它们 或者 . (2)既不 又不 的两条直线叫做异面直线. (3)判定两条直线为异面直线的一种方法:与一平面相交于一点的直线与这个平面内 的直线是异面直线. 【拓展延伸】 三种语言 我们可以把空间看作点的集合.这就是说,点是空间的基本元素
3、,直线和平面都是空间的子集,直线是它所在平面的子集.于是,我们可以用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质.例如, 点A在平面内,记作A;点A不在内,记作A(A也称作平面经过点A); 直线l在平面内,记作l;直线l不在平面内,记作l(l也称作平面经过直线l); 平面与平面相交于直线a,记作=a. 直线l和m相交于点A,记作lm=A,简记为lm=A.,平行,相交,相交,平行,不经过交点,自我检测,1.下列命题: 公理1可用集合符号叙述为:若Al,Bl,且A,B,则必有l; 四边形的两条对角线必相交于一点; 用平行四边形表示的平面,以平行四边形的四条边作为平面边界线; 梯形是平面图形
4、. 其中,正确的命题个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,A,解析:对于,因为直线可视为点集,平面也是点集,应表示为l,所以错误;对于,当四边形是平面图形时,两对角线必相交于一点;当四边形的四个顶点不共面时,两条对角线不能相交,所以错误;对于,平面是无限延展的,表示平面的平行四边形也是无限延展的(需要时可向四周延展),故错误;对于,梯形有两条边互相平行,由推论3知其为平面图形,故正确,选A.,2.若点M在直线a上,直线a在平面内,用数学符号记为( ) (A)Ma,a (B)Ma,a (C)Ma,a (D)Ma,a,B,解析:由于点看作元素,线面看作集合.故选B.,3.分别和两条
5、异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) (A)一定平行 (B)一定相交 (C)一定异面 (D)相交或异面,解析:由异面直线的定义可知,选D.,D,4.在空间中,下列条件能够确定一个平面的是: . 两条直线,一个点和一条直线,三个点,两条相交直线,圆上不同的三个点,两条平行直线.,解析:由平面的基本性质和推论可知只有可以确定一个平面.,答案:,类型一,用图形符号语言表示点、线、面之间的位置关系,课堂探究素养提升,【例1】 据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系. (1)点P与直线AB;(2)点C与直线AB; (3)点M与平面AC;(4)点A1与平面AC; (5)直线AB与直线BC;(6)
6、直线AB与平面AC; (7)平面A1B与平面AC.,解:(1)点P直线AB;(2)点C直线AB; (3)点M平面AC;(4)点A1平面AC; (5)直线AB直线BC于点B;(6)直线AB平面AC; (7)平面A1B平面AC于直线AB.,方法技巧 (1)正确理解点、线、面表示的含义,点表示元素,线、面都是点的集合. (2)注意区别代数与几何表示法.,类型二,线共面问题的证明,【例2】 已知,ABAC=A,ABBC=B,ACBC=C,如图所示.求证:直线AB,BC, AC共面.,证明:法一 因为ABAC=A, 所以直线AB,AC确定一个平面(推论2). 因为BAB,CAC, 所以B,C, 故BC(
7、公理1). 因此直线AB,BC,CA共面.,法二 因为A直线BC, 所以过点A和直线BC确定平面(推论1). 因为A,B. 故AB, 同理AC, 所以AB,AC,BC共面. 法三 因为A,B,C三点不在同一条直线上, 所以过A,B,C三点可以确定平面(公理3). 因为A,B, 所以AB(公理1). 同理BC,AC, 所以AB,BC,CA三直线共面.,方法技巧 解决共面问题的基本方法是:(1)由条件确定一个平面,然后再由公理1证明其余的线也在该平面内;(2)由一部分线确定一个平面,由另一部分线确定另一个平面,然后证明两个平面重合.,变式训练2-1:如图所示,abc,la=A,lb=B,lc=C.
8、求证:a,b,c,l共面.,证明:法一 先由ab确定一个平面,然后证l,c都在这个平面内. 因为ab,所以a,b确定平面. 又因为la=A,lb=B,所以l上有两点A,B在内, 即直线l. 于是a,b,l共面. 换句话说,若a,l确定平面,过l上一点B,作ba,则b. 同理,过l上一点C作ca,则c也在a,l确定的平面内. 故a,b,c,l共面.,法二 因为ab,所以a,b确定平面, 又Aa,Bb. 所以AB,即l. 又因为bc,所以b,c确定平面, 而Bb,Cc,所以BC. 即l,于是a,l,b,l,而bl=B. 所以故与重合,所以a,b,c,l共面. 法三 因为ab,所以a,b确定平面,
9、又因为Aa,Bb.所以AB,即l,设c. 过C在平面内作cb,cc=C, 又bc,所以cc与cc=C矛盾, 所以c,故a,b,c,l共面.,类型三,点共线问题的证明,【例3】 已知ABC在平面外,它的三边所在的直线分别交平面于P, Q,R(如图),求证:P,Q,R三点共线.,证明:法一 因为AB=P, 所以PAB,P平面.又AB平面ABC,所以P平面ABC. 所以由基本性质3可知, 点P在平面ABC与平面的交线上, 同理可证Q,R也在平面ABC与平面的交线上. 又因为两相交平面的交线有且只有一条,所以P,Q,R三点共线.,法二 因为APAR=A, 所以直线AP与直线AR确定平面APR, 又因为
10、AB=P,AC=R, 所以平面APR平面=PR. 因为B平面APR,C平面APR,所以BC平面APR, 又因为Q直线BC, 所以Q平面APR, 又Q,所以QPR, 所以P,Q,R三点共线.,方法技巧 证明点共线问题常用方法: (1)先找出两个平面,再证明这三个点都是这两个平面的公共点,从而根据基本性质3判定它们都在交线上. (2)选择两点确定一条直线,再证另一点在这条直线上.,变式训练3-1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设线段A1C与平面ABC1D1交于Q,求证:B,Q,D1三点共线.,证明:因为A1C平面ABC1D1=Q, 所以Q平面ABC1D1,QA1C. 又A1C平面A1BCD
11、1, 所以Q平面A1BCD1. 而平面ABC1D1平面A1BCD1=BD1, 所以QBD1, 即B,Q,D1三点共线.,类型四,线共点问题的证明,【例4】 在三棱锥S-ABC的边SA,SC,AB,BC上分别取点E,F,G,H,若EFGH= P,求证:EF,GH,AC三条直线交于点P.,证明:因为ESA,SA平面SAC,FSC,SC平面SAC, 所以EF平面SAC. 同理,GH平面ABC. 因为EFGH=P,所以P平面SAC,P平面ABC. 因为平面SAC平面ABC=AC,所以PAC. 即直线EF,GH,AC交于一点P.,变式训练4-1:如图所示,已知M,N,P,Q分别为正方体中棱AB,BC,C
12、1D1,C1C的中点,求证:PQ,MN,DC三线共点.,证明:如图所示,连接MN,并延长MN交DC的延长线于O, 则MBNOCN,所以CO=MB. 连接PQ并延长PQ交DC的延长线于O1, 则PC1QO1CQ,所以CO1=PC1. 又因为MB=PC1, 所以CO=CO1,所以O与O1重合. 所以PQ,MN,DC相交于一点,即直线PQ,MN,DC三线共点.,类型五,几何体的截面作法,【例5】 已知P,Q,R三点分别在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1,DD1上,试画出过P,Q,R三点的截面.,解:如图,(1)连接QP,QR并延长,分别交CB,CD的延长线于点E,F.(2)连接EF,交AB于T,交AD于S. (3)连接RS,TP,则多边形PQRST为所求.,方法技巧 作几何体的截面,即作几何体与平面的交线,即找截面与几何体表面的公共点,只需找到两个,连接即可画该面上的交线,其依据为平面的基本性质,注意平面的延展性.,谢谢观赏！,
