1、第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想,-2-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,从近五年高考试题来看,分类讨论思想在高考试题中频繁出现,现已成为高考数学的一个热点,也是高考的难点.高考中经常会有几道题,解题思路直接依赖于分类讨论,特别在解答题中(尤其导数与函数)常有一道分类讨论求解的把关题,选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论题.,-3-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,1.分类讨论思想的含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,首先需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究,得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答. 2.分类讨论的原
2、则 (1)不重不漏;(2)标准要统一,层次要分明;(3)能不分类的要尽量避免,决不无原则地讨论. 3.分类讨论的常见类型 (1)由数学概念而引起的分类讨论;(2)由数学运算要求而引起的分类讨论;(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论;(5)由参数的变化而引起的分类讨论;(6)由实际意义引起的讨论.,-4-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,应用一 由数学的概念引起的分类讨论 例1已知a,b0,且a1,b1.若logab1,则( ) A.(a-1)(b-1)0 C.(b-1)(b-a)0,答案 D,解析 当01得b0,(a-1)(a-b)0
3、. 排除A,B,C. 当a1时,由logab1得ba1. b-a0,b-10. (b-1)(b-a)0.故选D.,-5-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,思维升华由数学概念引起的分类讨论有:绝对值的定义、二次函数的定义、分段函数的定义、异面直线所成角的定义、直线的斜率、指数、对数函数等.,-6-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,突破训练1若函数f(x)=ln(ax2+x)在区间(0,1)内单调递增,则实数a的取值范围为 .,解析 若函数f(x)=ln(ax2+x)在区间(0,1)内单调递增, 即函数g(x)=ax2+x在(0,1)内单调递增, 当a=0时,g(x)=x在(0
4、,1)内单调递增,符合题意,-7-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,应用二 由数学运算、性质、定理、公式引起的分类讨论 例2设等比数列an的前n项和为Sn.若S3+S6=2S9,则数列的公比q是( ),答案 C,解析 若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1,但a10, 即得S3+S62S9,与题设矛盾,故q1.,化简,得q3(2q6-q3-1)=0,即(2q3+1)(q3-1)=0, 因为q1,所以q3-10,则2q3+1=0,-8-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,思维升华1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数
5、列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论. 2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除以一个数时,这个数能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数是零、是正数、还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.,-9-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,突破训练2若关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40对一切xR恒成立,则a的取值范围是( ) A.(-,2 B.-2,2 C.(-2,2 D.(-,-2),答案 C,解析 当a
6、-2=0,即a=2时,不等式为-40,满足题意,所以a=2; 当a-20,则a满足 解得-2a2,所以a的取值范围是a|-2a2.,-10-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,应用三 根据字母的取值情况分类讨论 例3已知a,bR,且exa(x-1)+b对xR恒成立,则ab的最大值是( ),答案 A,-11-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,解析 令f(x)=ex-a(x-1)-b,则f(x)=ex-a, 若a=0,则f(x)=ex-b-b0,得b0,此时ab=0; 若a0,函数单调增,x-,此时f(x)-, 不可能恒有f(x)0. 若a0,由f(x)=ex-a=0,得极小值点
7、x=ln a, 由f(ln a)=a-aln a+a-b0,得ba(2-ln a), aba2(2-ln a).令g(a)=a2(2-ln a).,-12-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,思维升华含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.,-13-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,突破训练3若函数f(x)=aex-x-2a有两个零点,则实数a的取值范围是( ),答案 D,-14-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,-15-,思想分类应
8、用,应用方法归纳,思想方法诠释,1.简化分类讨论的策略:(1)消去参数;(2)整体换元;(3)变更主元;(4)考虑反面;(5)整体变形;(6)数形结合;(7)缩小范围等. 2.分类讨论遵循的原则是:不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论.,-16-,思想方法诠释,思想分类应用,应用方法归纳,转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决,离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等.,-17-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,1.转化与化归思想的含义 转化与化归的思想方
9、法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种思想方法. 2.转化与化归的原则 (1)熟悉化原则;(2)简单化原则;(3)直观化原则;(4)正难则反原则;(5)等价性原则. 3.常见的转化与化归的方法 (1)直接转化法;(2)换元法;(3)数形结合法;(4)构造法;(5)坐标法;(6)类比法;(7)特殊化方法;(8)等价问题法;(9)补集法.,-18-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,应用一 特殊与一般的转化,答案 A,-19-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,-20-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,思维升华1.当问题
10、难以入手时,应先对特殊情形进行观察、分析,发现问题中特殊的数量或关系,再推广到一般情形,以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡,这就是特殊化的化归策略. 2.数学题目有的具有一般性,有的具有特殊性,解题时,有时需要把一般问题化归为特殊问题,有时需要把特殊问题化归为一般问题.,-21-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,突破训练1在定圆C:x2+y2=4内过点P(-1,1)作两条互相垂直的直线与C分别交于A,B和M,N,则 的取值范围是 .,-22-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,应用二 命题的等价转化 例2若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x
11、=-2对称,则f(x)的最大值为 .,答案 16,-23-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,(法二)据已知可设f(x)=-(x+2)4+m(x+2)2+n,据f(1)=f(-1)=0, 解出m=10,n=-9, 则f(x)=-(x+2)4+10(x+2)2-9 =-(x+2)2-52+16, 故最大值为16.,-24-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,转化一 若只根据f(x)图象关于直线x=-2对称,得零点对称,条件转化为f(-1)=f(-3),f(1)=f(-5),解得a=8,b=15,其余由求导完成,恐有因式分解的障碍. 转化二 由于函数y=f(x)的图象关于y轴对称,
12、当x取一对相反数时,函数值不变,将函数y=f(x)的图象向左平移2个单位,得函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,当(x+2)取一对相反数时,函数值不变,于是,函数的解析式只能含(x+2)的偶次方. 思维升华将已知条件进行转换,有几种转换方法就有可能得出几种解题方法.,-25-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,答案 D,-26-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,-27-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,应用三 常量与变量的转化 例3已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,其中f(x)是f(x)的导函数.对满足-1a1的一切a的值
13、,都有g(x)0,则实数x的取值范围为 .,-28-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,思维升华在处理多变量的数学问题时,当常量(或参数)在某一范围取值,求变量x的范围时,经常进行常量与变量之间的转化,即可以选取其中的参数,将其看作是变量,而把变量看作是常量,从而达到简化运算的目的.,-29-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,突破训练3设f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-ax-x2)f(2-a)对任意a-1,1恒成立,则x的取值范围为 .,答案 (-,-10,+) 解析 因为f(x)是R上的增函数,所以1-ax-x22-a,a-1,1. (*) (*)式可化为(x-1)
14、a+x2+10对a-1,1恒成立. 令g(a)=(x-1)a+x2+1,解得x0或x-1, 即实数x的取值范围是(-,-10,+).,-30-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,应用四 函数、方程与不等式之间的转化 例4关于x的不等式x+ -1-a2+2a0对x(0,+)恒成立,则实数a的取值范围为 .,答案 (-1,3),-31-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,思维升华函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简,常常将不等式的恒成立问题转
15、化为函数的最值问题;将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题;将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等.,-32-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,突破训练4已知函数f(x)=3e|x|.若存在实数t-1,+),使得对任意的x1,m,mZ,且m1,都有f(x+t)3ex,求m的最大值.,解 因为当t-1,+),且x1,m时,x+t0, 所以f(x+t)3exex+text1+ln x-x. 所以原命题等价转化为:存在实数t-1,+),使得不等式t1+ln x-x对任意x1,m恒成立. 令h(x)=1+ln x-x(x1). 因为h(x)= -10, 所以函数
16、h(x)在1,+)内为减函数. 又x1,m,所以h(x)min=h(m)=1+ln m-m. 所以要使得对任意x1,m,t值恒存在,只需1+ln m-m-1.,-33-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,且函数h(x)在1,+)内为减函数, 所以满足条件的最大整数m的值为3.,-34-,思想分类应用,应用方法归纳,思想方法诠释,1.在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式,它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换. 2.转化与化归思想在解题中的应用 (1)在三角函数和解三角形中,主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化、通过正弦、余弦定理实现边角关系的相互转化. (2)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的综合题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化. (3)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解. (4)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题,转化为其导函数f(x)构成的方程、不等式问题求解.,
