1、6.3 直线与圆锥曲线,-2-,-3-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,直线与圆锥曲线的位置关系 【思考】 怎样用代数的方法判断直线与圆锥曲线的位置关系? 例1已知直线l:kx-y+2=0,双曲线C:x2-4y2=4,当k为何值时:(1)l与C无公共点; (2)l与C有唯一公共点; (3)l与C有两个不同的公共点.,答案,-4-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思设直线l:Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0,由 消去y得ax2+bx+c=0(也可消去x).若a0,=b2-4ac,0相交;0相离;=0相切.若a=0,得到一个一次方程:(1)C为
2、双曲线,则l与双曲线的渐近线平行;(2)C为抛物线,则l与抛物线的对称轴平行.,-5-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练1(2018全国,文20)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点. (1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程; (2)证明:ABM=ABN.,(1)解 当l与x轴垂直时, l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2). 所以直线BM的方程为y= x+1或y=- x-1. (2)证明 当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线, 所以ABM=ABN. 当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-
3、2)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x10,x20.,-6-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-7-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,圆锥曲线中的定值、定点问题 【思考】 求解圆锥曲线中的定值、定点问题的基本思想是什么?,例2在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题: (1)能否出现ACBC的情况?说明理由; (2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.,(1)解 不能出现ACBC的情况,理由如下: 设A(x1,0),B(x2,0), 则x1,x2满足x2+mx
4、-2=0,所以x1x2=-2. 又点C的坐标为(0,1), 故AC的斜率与BC的斜率之积为 所以不能出现ACBC的情况.,-8-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.,-9-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思1.求解定点和定值问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点)的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的
5、斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决. 2.证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出x,y的方程组,以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.,-10-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,(1)求椭圆C的方程; (2)过动点M(0,m)(m0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B. 设直线PM,QM的斜率分别为k,k,证明 为定值; 求直线AB的斜率的最小值.,-11-,命题热点一,命题
6、热点二,命题热点三,命题热点四,-12-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-13-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-14-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,圆锥曲线中的参数范围与最值问题 【思考】 求解范围、最值问题的基本解题思想是什么?,例3,(1)求直线AP斜率的取值范围; (2)求|PA|PQ|的最大值.,-15-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-16-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,所以|PA|PQ|=-(k-1)(k+1)3. 令f(k)=-(k-1)(k+1)3, 因为f(k)=-(4k-2)(k
7、+1)2,-17-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思范围、最值问题的基本解题思想是建立求解目标与其他变量的关系(不等关系、函数关系等),通过其他变量表达求解目标,然后通过解不等式、求函数值域(最值)等方法确定求解目标的取值范围和最值.在解题时要注意其他约束条件对求解目标的影响,如直线与曲线交于不同两点时对直线方程中参数的约束、圆锥曲线上点的坐标范围等.,-18-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练3已知点E(m,0)为抛物线y2=4x内的一个定点,过E作斜率分别为k1,k2的两条直线交抛物线于点A,B,C,D,且M,N分别是AB, CD的中点. (
8、1)若m=1,k1k2=-1,求三角形EMN面积的最小值; (2)若k1+k2=1,求证:直线MN过定点.,(1)解 当m=1时,E为抛物线y2=4x的焦点. k1k2=-1,ABCD. 设AB方程为y=k1(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),-19-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-20-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-21-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,圆锥曲线中的探索问题 【思考】 如何求解圆锥曲线中的探索问题? 例4已知椭圆C: (ab0)的离心率为 ,点P(0,1)和点A(m,n)(m0)都在椭圆C上,直线PA交x
9、轴于点M. (1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示); (2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得OQM=ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.,-22-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-23-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,往往是先假设所求的元素存在,然后再推理论证,检验说明假设是否正确.,-24-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,(1)求椭圆C的方程; (2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l
10、相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为 k1,k2,k3,问:是否存在常数,使得k1+k2=k3?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.,-25-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-26-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-27-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-28-,规律总结,拓展演练,1.直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有: (1)从方程的观点出发,利用根与系数的关系来进行讨论,这是用代数方法来解决几何问题的基础.要重视通过设而不求与弦长公式简化计算,并同时注意在适当情况下利用图形的平面几何性质. (2)以向量为工具,利用向量的坐标运
11、算解决与中点、弦长、角度相关的问题. 2.定值问题是解析几何中的一种常见问题,基本的求解思想是:先用变量表示所需证明的不变量,然后通过推导和已知条件,消去变量,得到定值,即解决定值问题首先是求解非定值问题,即变量问题,最后才是定值问题.,-29-,规律总结,拓展演练,3.求取值范围的问题时,首先要找到产生范围的几个因素:(1)直线与曲线相交(判别式);(2)曲线上点的坐标的范围;(3)题目中给出的限制条件.其次要建立结论中的量与这些范围中的因素的关系;最后利用函数或不等式求变量的取值范围. 4.解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法.几何法是根据已知的几何量之间的相互关系,通过平面几何和
12、解析几何的知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等);代数法是建立求解目标关于某个或某两个变量的函数,通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决.,-30-,规律总结,拓展演练,5.连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦.求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立,求出两交点的坐标,然后运用两点间的距离公式来求;另外一种求法是若直线的斜率为k,被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则弦长公式为,-31-,规律总结,拓展演练,D,-32-,规律总结,拓展演练,A,-33-,规律总结,拓展演练,解析 设双曲线的左焦点为F1,如图. 由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF1|, APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+(2a+|PF1|)+|AF|=|PA|+|PF1|+(2a+|AF|). 由于2a+|AF|是定值,要使APF的周长最小, 则应使|PA|+|PF1|最小,即P,A,F1三点共线.,-34-,规律总结,拓展演练,-35-,规律总结,拓展演练,(1)求椭圆的方程; (2)设直线l:y=kx(k0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若BPM的面积是BPQ面积的2倍,求k的值.,-36-,规律总结,拓展演练,
