1、1.4 平面向量题专项练,-2-,1.平面向量的两个定理及一个结论 (1)向量共线定理:向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数,使b=a. (2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1,2,使a=1e1+2e2,其中e1,e2是一组基底. (3)三点共线的充要条件:A,B,C三点共线存在实数,使,2.平面向量的数量积 (1)若a,b为非零向量,夹角为,则ab=|a|b|cos . (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.,-3-,3.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a=(x1
2、,y1),b=(x2,y2),则 (1)aba=b(b0)x1y2-x2y1=0. (2)abab=0x1x2+y1y2=0. 4.利用数量积求长度,5.利用数量积求夹角 若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),为a与b的夹角,则cos = . 当ab0(或ab0)时,则a与b的夹角为锐角(或钝角),或a与b方向相同(或方向相反).要注意夹角=0(或=)的情况.,-4-,一、选择题(共12小题,满分60分) 1.设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则( ) A.ab B.|a|=|b| C.ab D.|a|b| 解析 由|a+b|=|a-b|,平方得a2+2ab+b2=a2-
3、2ab+b2,即ab=0. 又a,b为非零向量,故ab,故选A. 2.(2018全国,文4)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)= ( ) A.4 B.3 C.2 D.0 解析 a(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3.,A,B,-5-,A.点D不在直线BC上 B.点D在BC的延长线上 C.点D在线段BC上 D.点D在CB的延长线上,D,-6-,C,-7-,A,-8-,解析 a=(m,2),b=(2,-1),且ab,ab=2m-2=0,m=1, a=(1,2),2a-b=(0,5),|2a-b|=5. 又a+b=(3,1),a(a+b)=13+21=5,B,-9-,
4、A,-10-,8.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,(a-b)a=1,则a与b的夹角为( ),C,解析 向量a,b满足|a|=2,|b|=3,且(a-b)a=1, a2-ba=1,22-32cos=1,D,-11-,A.-15 B.-9 C.-6 D.0,C,-12-,B,-13-,A,解析 e为单位向量,b2-4eb+3=0, b2-4eb+4e2=1. (b-2e)2=1. 以e的方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,如图.,-14-,-15-,二、填空题(共4小题,满分20分) 13.(2018全国,文13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b)
5、,则= .,14.(2018北京,文9)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a(ma-b),则m= .,解析 2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,), 由c(2a+b),得4-2=0,得= .,-1,解析 由题意,得ma-b=(m,0)-(-1,m)=(m+1,-m). a(ma-b), a(ma-b)=0,即m+1=0, m=-1.,-16-,15.(2018江苏,12)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若 ,则点A的横坐标为 .,3,-17-,16.如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2, BC=CD=1,P是AB的中点,则 = .,-1,
