1、第3章,数系的扩充与复数的引入,1,知识网络 系统盘点，提炼主干,2,要点归纳 整合要点，诠释疑点,3,题型研修 突破重点，提升能力,章末复习提升,1.复数的概念 (1)虚数单位i； (2)复数的代数形式zabi(a，bR)； (3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数.,复数abi (a，bR),2.复数集,3.复数的四则运算 若两个复数z1a1b1i，z2a2b2i(a1，b1，a2，b2R) (1)加法：z1z2(a1a2)(b1b2)i； (2)减法：z1z2(a1a2)(b1b2)i； (3)乘法：z1z2(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i；,(5)实数四则运算的交换律、结合律、分
2、配律都适合于复数的情况； (6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算； (1i)22i； 若 则31,120.,4.共轭复数与复数的模,5.复数的几何形式 (1)用点Z(a，b)表示复数zabi(a，bR)，用向量 表示复数zabi(a，bR)，Z称为z在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0).,(2)任何一个复数zabi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量 .,题型一 分类讨论思想的应用 当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论.分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数.当xyi没有说明x，yR时，也要
3、分情况讨论.,解 当z为实数时，,当a6时，z为实数.,解 当z为虚数时，,a1且a6， 即当a(，1)(1,1)(1,6)(6，)时，z为虚数.,解 当z为纯虚数时，,不存在实数a，使z为纯虚数.,跟踪演练1 当实数a为何值时，za22a(a23a2)i. (1)为实数； 解 zRa23a20， 解得a1或a2.,(2)为纯虚数； 解 z为纯虚数，,故a0.,(3)对应的点在第一象限内； 解 z对应的点在第一象限，,a0，或a2. a的取值范围是(，0)(2，).,(4)复数z对应的点在直线xy0上.解 依题设(a22a)(a23a2)0， a2.,题型二 数形结合思想的应用 数形结合既是一
4、种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法.本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现.它们得以相互转化.涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等.,例2 已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为12i，26i，OABC.求顶点C所对应的复数z. 解 设zxyi，x，yR，如图. OABC，OCBA， kOAkBC，|zC|zBzA|，,OABC， x23，y24(舍去)， 故z5.,跟踪演练2 已知复数z1i(1i)3. (1)求|z1|；,(2)若|z|1，求|zz1|的最大值. 解 如图所示，由|z|1可
5、知， z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，2). 所以|zz1|的最大值可以看成是点Z1(2，2)到圆上的点的距离的最大值. 由图知|zz1|max|z1|r(r为圆半径),题型三 转化与化归思想的应用 在求复数时，常设复数zxyi(x，yR)，把复数z满足的条件转化为实数x，y满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要.,例3 已知z是复数，z2i， 均为实数，且(zai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围. 解 设zxyi(x，yR)， 则z2ix(y2)i为实数， y2.,x4. z42i， 又(zai)2(4
6、2iai)2 (124aa2)8(a2)i在第一象限.,解得2a6. 实数a的取值范围是(2,6).,跟踪演练3 已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y. 解 设xabi(a，bR)， 则yabi. 又(xy)23xyi46i， 4a23(a2b2)i46i，,题型四 类比思想的应用 复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，且要注意i21. 在运算的过程中常用来降幂的公式有 (1)i的乘方：i4k1，i4k1i，i4k21，i4k3i(kZ)； (2)(1i)22i；,(3)设 ，则31，
7、2 ，120， 2，3n1，3n1(nN*)等；,(5)作复数除法运算时，有如下技巧：,利用此结论可使一些特殊的计算过程简化.,ii0.,2(i3)i 12i.,课堂小结 高考对本章考查的重点 1.对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念. 2.对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复,数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数.最后整理成abi(a，bR)的结构形式. 3.对复数几何意义的考查.在高考中 一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义.,
