1、第2章,推理与证明,2.1 合情推理与演绎推理 2.1.3 推理案例赏析,学习目标 1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系. 2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 1.归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么作用？ 答 归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；它可以为数学活动的结论提供目标和方向.,2.类比推理的结论是否一定正确？ 答 从类比推理的思维过程可以看出：类比的前提是观
2、察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，它还只是一种猜想，结论的正确与否，有待于进一步论证.,3.合情推理与演绎推理有何异同之处？ 答 合情推理是从特殊到一般，思维开放，富于创造性，但结论不一定正确，是一种或然推理.演绎推理是从一般到特殊，思维收敛，较少创造性，当前提和推理形式都正确时，结论一定正确，是一种必然推理.,合情推理为演绎推理确定了目标和方向，而演绎推理又论证了合情推理结论的正误，二者相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程.,预习导引 1.数学活动与探索 数学发现活动是一个 的过程，是一个不断地 、 的过程.,探索创造,提出猜想,验证猜想,2.合情推理和演绎推理的联
3、系 在数学活动中，合情推理具有 、 、 的作用，演绎推理为合情推理提供了前提，对猜想作出 ，从而为调控探索活动提供 .,提出猜想,发现结论,提供思路,“判决”或证明,依据,要点一 运用归纳推理探求结论,规律方法 运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化.,跟踪演练1 下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n个图形中小等边三角形的个数为_.,解析 前4个图中小等边三角形的个数分别为1,4,9,16. 猜测：第n个图形中小等边三角形的个数为n2. 答案 n2,要点二 运用类比推理探求结论 例2 例2 RtABC
4、中，C90，CDAB于D，则BC2BDBA(如图甲).类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥PABC(如图乙)中，可得到什么结论？,解 如图，在三棱锥PABC中， 作PO平面ABC，连结OB，OC， 猜想下列结论：S SOBCSABC. 证明：连结AO，并延长交BC于D，连结PD. PAPB，PAPCPA平面PBC. PD平面PBC，BC平面PBC，,PAPD，PABC. PO平面ABC，AD平面ABC，BC平面ABC， POAD，POBC. BC平面PAD.,PD2ODAD，,BCAD，BCPD.,规律方法 在类比推理中，要提炼两类事物的共同属性.一般而言，提炼的共同属性越本质，则猜想的结
5、论越可靠.,跟踪演练2 如图，设ABC中，BCa，ACb，ABc，BC边上的高ADh.扇形A1B1C1中， l，半径为R，ABC的面积可通过下列公式计算：,运用类比的方法，猜想扇形A1B1C1的面积公式，并指出 其真假. (1) ； (2)_ .,真命题,假命题,要点三 运用演绎推理证明结论的正确性 例3 在数列an中，a12，an14an3n1，nN*. (1)求证数列ann是等比数列； 证明 由an14an3n1， 得an1(n1)4(ann)，nN*.,数列ann是以a11， 即211为首项，以4为公比的等比数列.,(2)求数列an的前n项和Sn； 解 由(1)可知ann4n1， ann
6、4n1. Sna1a2an(140)(241)(n4n1)(12n)(144n1),(3)求证不等式Sn14Sn恒成立(nN*),Sn14Sn恒成立(nN*).,规律方法 演绎推理的一般形式是三段论，证题时要明确三段论的大前提、小前提和结论，写步骤时常省略大前提或小前提.,跟踪演练3 已知函数yf(x)满足：对任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)， 试证明：f(x)为R上的单调增函数. 证明 设x1，x2R，取x1x1f(x2)x2f(x1)，,x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0， f(x2)f(x1)(x2x1)0， x10，f(x2)f(x1).
7、 yf(x)为R上的单调增函数.,1.一个数列的第2项到第4项分别是3， ， ，据此可以猜想这个数列的第一项是_.,1,2,3,4,1,2,3,4,2.在平面中，圆内接平行四边形一定是矩形.运用类比，可猜想在空间有如下命题：_.,球内接平行六面体一定是长方体,3.设xi0 (iN*)，有下列不等式成立，x1x22 ；x1x2x33 ，类比上述结论，对于n个正数x1，x2，xn，猜想有下述结论 .,1,2,3,4,4.已知a，bN*，f(ab)f(a)f(b)，f(1)2，则,1,2,3,4,解析 令b1，则f(a1)f(a)f(1)，,1,2,3,4,答案 4 028,22222 0144 028.,课堂小结 1.数学活动中，合情推理和演绎推理相辅相成，共同推动发现活动的进程. 2.合情推理中要对已有事实进行分析，作出猜想，猜想的结论为演绎推理提供了目标和方向.,
