1、第2章,推理与证明,2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理,学习目标 1.理解演绎推理的意义. 2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 1.演绎推理的结论一定正确吗？ 答 演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确.,2.如何分清大前提、小前提和结论？ 答 在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情
2、况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义.例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义.,3.演绎推理一般是怎样的模式？ 答 “三段论”是演绎推理的一般模式，它包括： (1)大前提已知的一般原理； (2)小前提所研究的特殊情况； (3)结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断.,预习导引 1.演绎推理 由 的命题推演出 命题的推理方法，通常称为演绎推理. 演绎推理是根据 和 (包括 、 、 等)，按照严格的 得到新结论的推理过程. 是演绎推理的主要形式.,一般性
3、,特殊性,已有的事实,正确的结论,定义,公理,定理,逻辑法则,三段论,2.三段论 (1)三段论的组成 大前提提供了一个 . 小前提指出了一个 . 结论揭示了 与 的内在联系.,特殊对象,特殊对象,一般性的原理,一般原理,(2)三段论的常用格式为 MP( ) SM( ) SP( ),M是P,S是P,S是M,要点一 用三段论的形式表示演绎推理 例1 把下列演绎推理写成三段论的形式. (1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ，所以在一个标准大气压下把水加热到100 时，水会沸腾； 解 在一个标准大气压下，水的沸点是100 ， 大前提 在一个标准大气压下把水加热到100 ， 小前提 水会沸腾. 结
4、论,(2)一切奇数都不能被2整除，21001是奇数，所以21001不能被2整除； 解 一切奇数都不能被2整除， 大前提 21001是奇数， 小前提 21001不能被2整除. 结论,(3)三角函数都是周期函数，ytan 是三角函数，因此ytan 是周期函数. 解 三角函数都是周期函数， 大前提 ytan 是三角函数， 小前提 ytan 是周期函数. 结论,规律方法 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.一般可省略大前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略.在寻找大前提时，可
5、找一个使结论成立的充分条件作为大前提.,跟踪演练1 试将下列演绎推理写成三段论的形式： (1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行； 解 大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行； 小前提：海王星是太阳系里的大行星； 结论：海王星以椭圆形轨道绕太阳运行.,(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热； 解 大前提：所有导体通电时发热； 小前提：铁是导体； 结论：铁通电时发热.,(3)一次函数是单调函数，函数y2x1是一次函数，所以y2x1是单调函数； 解 大前提：一次函数都是单调函数； 小前提：函数y2x1是一次函数；
6、结论：y2x1是单调函数.,(4)等差数列的通项公式具有形式anpnq(p，q是常数)，数列1,2,3，n是等差数列，所以数列1,2,3，n的通项具有anpnq的形式.解 大前提：等差数列的通项公式具有形式anpnq； 小前提：数列1,2,3，n是等差数列； 结论：数列1,2,3，n的通项具有anpnq的形式.,要点二 演绎推理的应用 例2 正三棱柱ABCA1B1C1的棱长均为a，D、E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点G. (1)求证：A1BAD； 证明 连结BD. 三棱柱ABCA1B1C1是棱长均为a的正三棱柱， A1ABB1为正方形，,A1BAB1. D是C1C的中点， A1C
7、1DBCD， A1DBD， G为A1B的中点， A1BDG， 又DGAB1G，,A1B平面AB1D. 又AD平面AB1D， A1BAD.,(2)求证：EC平面AB1D. 证明 连结GE， EGA1A， GE平面ABC. DC平面ABC， GEDC， GEDC a，,四边形GECD为平行四边形， ECGD. 又EC平面AB1D，DG平面AB1D， EC平面AB1D.,规律方法 (1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略. (2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据大前提、小前提，注意前
8、一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.,即f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数.,任取x1，x2R，且x1x2.,由于x1x2，从而 ，,所以f(x1)f(x2)，故f(x)为增函数.,要点三 合情推理、演绎推理的综合应用 例3 如图所示，三棱锥ABCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影. (1)求证：O为BCD的垂心； 证明 ABAD，ACAD，ABACA， AD平面ABC，又BC平面ABC. ADBC，,又AO平面BCD，AOBC， ADAOA， BC平面AOD， BCDO，同理可证CDBO， O为BCD的垂心.,(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三
9、棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明.证明：连结DO并延长交BC于E，连结AE， 由(1)知AD平面ABC， AE平面ABC，,ADAE，又AOED， AE2EOED，,规律方法 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).,跟踪演练3 已知命题：“若数列an是等比数列，且an0，则数列bn (nN*)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论. 解 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：,证明如下：设
10、等差数列an的公差为d，,1.“因对数函数ylogax是增函数(大前提)，而ylog x是对数函数(小前提)，所以ylog x是增函数(结论).”上面推理的错误是_.,1,2,3,4,大前提错导致结论错,1,2,3,4,2.下面几种推理过程是演绎推理的是_(只填序号). 两条直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线的同旁内角，则AB180 由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质,1,2,3,4,某校高三共有10个班，1班有51个，2班有53个，3班有52人，由此推测各班都超过50人 在数列an中，a11，an (an1 )(n2)，由此归纳出an的通项公式 答案 ,3.把“函数yx2
11、x1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：_； 小前提：_； 结论：_.,1,2,3,4,二次函数的图象是一条抛物线,函数yx2x1是二次函数,函数yx2x1的图象是一条抛物线,4.指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： (1)因为中国的大学分布在中国各地， 大前提 北京大学是中国的大学， 小前提 所以北京大学分布在中国各地. 结论,1,2,3,4,解 推理形式错误. 大前提中的M是“中国的大学”，它表示中国的各所大学， 而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念， 故推理形式错误.,1,2,3,4,(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形， 大前提 而菱形是所有边长都相等的凸多边形， 小前提 所以菱形是正多边形. 结论 解 是错误的， 原因是大前提错误.因为所有边长都相等， 内角也都相等的凸多边形才是正多边形.,1,2,3,4,课堂小结 1.演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确. 2.在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.,
