1、1.5.2 二项式系数的性质及应用(一),第1章 1.5 二项式定理,学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点 二项式系数的性质,(ab)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：,思考1,从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？,答案,答案 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.,思考2,计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？,答案,答案 2,4,8,16,3
2、2,64，其系数和为2n.,思考3,二项式系数的最大值有何规律？,答案,答案 当n2,4,6时，中间一项最大，当n3,5时中间两项最大.,(1)二项式系数表的特点 在同一行中，每行两端都是 ，与这两个1等距离的项的系数 . 每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.,梳理,1,相等,(2)二项式系数的性质 一般地，(ab)n展开式的二项式系数 有如下性质： ； ； 当r 时， ； 当r 时， ； .,2n,题型探究,例1 如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前n项和为Sn，求S16的值.,解 由题意及杨辉
3、三角的特点可得 S16(12)(33)(64)(105)(369),解答,类型一 与二项式系数表有关的问题,对杨辉三角形的规律注意观察，找出规律并用数学式正确表达出来，对数学式进行运算，得出正确结论.,反思与感悟,跟踪训练1 请观察下图，并根据数表中前五行的数字所反映的规律，推算出第九行正中间的数应是_.,答案,70,例2 设(2 x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值. (1)a0；,解 令x0，则展开式为a02100.,类型二 求展开式的系数和,解答,(2)a1a2a3a4a100；,解 令x1，可得a0a1a2a100(2 )100， ,解答,a1a2a100(2
4、)1002100.,(3)a1a3a5a99；,解 令x1，可得 a0a1a2a3a100(2 )100. 与联立相减，得,(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2；,解 原式(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a2a100)(a1a3a99) (a0a1a2a100)(a0a1a2a3a98a99a100) (2 )(2 )10011001.,解答,(5)|a0|a1|a100|.,解答,a2k10(kN*).,二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对(ax
5、by)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可. (2)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，,反思与感悟,解 设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.,跟踪训练2 在二项式(2x3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和；,解答,解 各项系数之和为a0a1a2a9， 令x1，y1， 所以a0a1a2a9(23)91.,(2)各项系数之和；,解 令x1，y1，可得 a0a1a2a959， 又a0a1a2a91，,(3)所有奇数项系数之和.,解答,当堂训练,1.在(2x )4的展开式中，各项的二项式
6、系数的和为_.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 各项的二项式系数之和为2416.,16,2.若(x3y)n的展开式中所有项的系数之和等于(7ab)10的展开式的二项式系数之和，则n的值为_.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 令xy1，得(x3y)n的展开式中所有项的系数和为4n， (7ab)10的展开式中所有项的二项式系数之和为210， 故4n210，即n5.,5,3.观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是_.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和， 所以4a10，得a6.,6,4.设(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a1
7、a2a3的值为_.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 令x1，得a0a1a2a3a41. ,15,当r0时，x4的系数a416. 由得a0a1a2a315.,2,3,4,5,1,5.若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12，则log2(a1a3a11)_.,答案,解析,解析 令x1，28a0a1a2a11a12. 令x3， 0a0a1a2a11a12， 282(a1a3a11)， a1a3a1127， log2(a1a3a11)log2277.,7,规律与方法,用赋值法求多项式系数和 求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.,本课结束,
