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    2018年高中数学第四章定积分4.3.2简单几何体的体积课件2北师大版选修2_2.ppt

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    2018年高中数学第四章定积分4.3.2简单几何体的体积课件2北师大版选修2_2.ppt

    1、第四章 定积分的应用 3.2 简单几何体的体积,一个平面图形绕平面内的一条定直线旋 转一周所形成的几何体叫旋转体,这条定直 线叫做旋转轴。圆柱、圆锥、圆台、球体、 球冠都是旋转体。,计算由区间a、b上的连续曲线 、 两直线x=a与x=b及x轴所围成的曲边梯形 绕 x轴旋转一周所成的旋转体的体积。,旋转体的体积,复习回顾,由微元法,取x为积分变量,其变化范围为区间 a,b。在区间a,b的任意一个小区间x,x+dx上,相 应的薄旋转体的体积可以用以点x处的函数值f(x)为底 面半径,以dx为高 的扁圆柱体的体积近似代替,,从而得到体积元素,所以,所求旋转 体的体积,类似地可得,由区间c,d上的连续

    2、曲线 , 两直线y=c与y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋 转一周所成的旋转体的体积为,例 : 求由椭圆,解 利用图形的对称性,只需考虑第一象限内,(一) 绕x轴:选取积分变量为 x 0, a,,所围图形分别绕,x 轴和y轴旋转所成的旋转体的体积.,任取一个子区间 x, x + dx 0, a,,的曲边梯形绕坐标轴旋转一周所成的旋转体的体积,,所求体积为该体积的2倍。,在子区间x , x + dx 上旋转体的微元为:,于是,dV1= py2 dx,,(二)绕y轴:选积分变量 y 0, b,任取子区间 y , y + dy 0, b.,在子区间 y , y + dy上体积的微元为,则,1、求

    3、y = x2 与 y2 = x 所围图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积.,解 选积分变量 x 0, 1 (两曲线的交点为 (0, 0) 和 (1, 1) ,,任取子区间x, x + dx 0, 1,其上的体积的微元为,练习,2. 曲线 与直线 所成的图形 的面积为 ( ),3. 将第一象限内由x轴和曲线 与直线 所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 等于 ( ),练习,D,C,课堂小结: 求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程,总结求旋转体体积公式步骤如下: 1先求出 的表达式;,2代入公式 ,,即可求旋转体体积的值。,微积分的创立,使得:过去少数大数学家 潜心研究的需要特殊方法才能解决的 许多问题,今天一个接受过微积分基本训练的 学生就能轻易解决。,利用祖暅原理获得球的体积,拓展眼界,祖暅原理,又名等幂等积定理, 内容是:夹在两个平行平面间的两个几何体, 被平行于这两个平行平面的任何平面所截, 如果截得两个截面的面积总相等, 那么这两个几何体的体积相等。,


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