1、,定积分的概念,两个实例 定积分的定义 定积分的存在定理 定积分的几何意义 定积分的性质,实例1 （求曲边梯形的面积）,一、两个实例,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,解决步骤 :,1) 分割:,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 近似:,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,矩形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,3) 求和:,4) 取极限:,令,则曲边梯形面积,1 化整为零,2 以直代曲(以常代变),3 积零为整,y=f
2、(x),.,.,分法越细，越接近精确值,曲边梯形的面积,f (i),.,4 取极限,y=f (x),令分法无限变细,.,.,.,.,分法越细，越接近精确值,1 化整为零,2 以直代曲(以常代变),3 积零为整,f (i),曲边梯形的面积,4 取极限,y=f (x),令分法无限变细,.,.,.,.,分法越细，越接近精确值,1 化整为零,2 以直代曲(以常代变),3 积零为整,f (i),A =,.,A,.,曲边梯形的面积,实例2 （求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确
3、值。,=t0,tn=,曲边梯形的面积,（1）分割（2）近似（3）求和（4）取极限,变速直线运动的路程,四个步骤为：,(i1, 2, n),作和,maxDx1, Dx2,Dxn; 在小区间xi1, xi上任取一点i,记Dxi=xi-xi1 (i1, , n),个分点: ax0x1x2 xn1xnb;,设函数f(x)在区间a, b上有界.,极限存在, 且极限值与区间a, b的分法和i的取法无关,则称此极限为函数f(x)在区间a, b上的定积分, 记为,即,二、定积分的定义,在区间a, b内插入n-1,如果当0时, 上述和式的,此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积 .,积分下限,积分上限,
4、积分和,读作“从a到b函数f(x)的定积分”,曲边梯形面积A：,变速运动的路程 S：,记为,记为,关于定积分的说明：,求导有如下的式子：,（）定积分只与被积函数、积分上、下限有关，而与积,记号无关，即,（）定积分表示一个数，而不定积分是一个函数族，,它们分别对,分变量的,例1 计算,(1)分割,等分,(2)近似,取,矩形面积,(3)求和,(4)取极限,定理1,定理2,三、定积分的存在定理,四、定积分的几何意义,几何意义：,a,b,定积分几何意义的应用,定积分几何意义的应用,例2 用定积分表示下列图中阴影部分的面积,例3 用定积分表示由,解：平面图形如右图所示,所围平面图形的面积。,例4 用定积
5、分表示由 所围 平面图形的面积。,1,o,解：平面图形如右图所示,A2,由图可知,因为,所以,若 是奇函数，则,若 是偶函数，则,对称区间上的定积分,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,五、定积分的性质,证,性质1,证,性质2,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,证,性质4,性质5,性质5的推论：,证,（1）,证,性质5的推论：,（2）,例5 比较下列各对积分值的大小：,(1),(1)因为在,(2),和,(2),和,解,上,由推论知,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,演示,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,几何解释,
